数列极限的几种求法.doc

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1、数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{}是一个数列,若存在确定的数a,对>0N>0使当n>N时,都有<则称数列{}收敛于a，记为=a，否则称数列{}不收敛（或称数列{}发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。例1、用-N方法求解：令=t+1则t>0n+1=>0取则当时，有=1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。证明：不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{}有上界，记为{}。以下证明a就是{}的极限。事实上，>0，按上确界的定义，存在数列{}中某一项，使得又由{}的递增性，当时有，这

2、就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。例2、证明数列收敛，并求其极限。证：，易见数列{}是递增的。现用数学归纳法来证明{}有上界。显然。假设,则有，从而对一切n有,即{}有上界。由单调有界定理，数列{}有极限，记为a。由于，对上式两边取极限得，即有（a+1）（a-2）=0，解得a=-1或a=2由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{}，都以a为极限，数列满足：存在正数当时有（1）则数列收敛且证：由分别存在正数与使得当时有（2）当时有（3）取则当时不等式（1），（2），（3）同时成

3、立即有从而有即证所得结果。例3、求解：（1）=1由（1）式及两边夹法则=1。四、先求和再求极限：例4、求极限解:五、先用放缩法再求极限：例5、求极限解：记则又由两边夹法则=六、用施笃兹公式：首先我们介绍并证明施笃兹公式：施笃兹公式（stolz）：设数列{}单调递增趋向于，（1）（可以为无穷）则例6、设求：解：由施笃兹公式