二阶非线性周期边值问题的正解.pdf

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1、大庆石油学院”学报第35卷第5期2011年10月joURNAL0FDAQINGPETR0LEUMINSTITUTEVo1．35No．5Oct．2011二阶非线性周期边值问题的正解胡金燕，孔令彬(东北石油大学数学科学与技术学院，黑龙江大庆163318)摘要：利用锥不动点指数和Green函数性质，研究一类含有双参数的二阶非线性周期边值问题，并证明其正解的存在性．关键词：周期边值问题；正解；锥；不动点指数；格林函数中图分类号：O175．08文献标识码：A文章编号：1000—1891(2011)05—0097—050引言研究二阶非线性周期边值问题，即f()+(￡)+()

2、一f(t，“())，00，0<4一a。<1．二阶非线性周期边值问题出现在物理及应用数学领域中[1-8]，人们对此进行研究，讨论含单参数的二阶非线性周期边值问题，获得正解存在性结果．有关含双参数二阶非线性周期边值问题的研究结果还不多见．笔者研究一类二阶非线性周期边值问题式(1)(简称问题(1))，在非线性项满足适当的条件下，证明正解的存在性．．1问题假设(H1)厂(，)于[0，27c]×Eo，+。。)非负连续，且0；一0t

3、E[o：13“一+o。tE[o．1](H。)liminf>，limsup<定义：称“(￡)为边值问题(1)的1个正解，如果它满足(i)()EC。(0，2丌)nCEo，27c]，“()>O，tE(0，2丌)；(．_)(￡)+au(￡)+(￡)一厂(￡，“())，并且“(￡)满足‘’(O)一‘’(27c)，i一0，1，则主要结果是定理1假设(H1)，(H2)或(H)，(H。)成立，则边值问题(1)至少存在1个正解．推论假设(H)及条件之一成立：(H：)limsup一0，liminf一+。。；“一OtEEo，1J甜“一+。。tE[0，1](H)liminf一+。。，l

4、imsuD尘一0．“一otEEo，1“一十。。tE[o．1]“则边值问题(1)至少存在1个正解．收稿日期：201I一03—11；审稿人：刘成仕；编辑：关开澄作者简介：胡金燕(1972一)，女，硕士，副教授，主要从事非线性常微分方程方面的研究大庆石油学院学报第35卷2011年为证明定理1，需要用到引理．引理1E。设E是Banach空间，K是E中的锥，T：K—K是全连续算子．(1)如果对任何E8K及任何0<≤1都有aTu≠U，则(T，K，，K)一1；(2)如果infllTil>O，并且对任何uEOK及任何≥1都有ATu≠，则(T，K，，K)一0．uEaKr2问题(1

5、)的等价形式与Green函数估计引理2C若线性周期边值问题'-[-au(t)-(t)=0]-fi~t’，(2丌)一1．(2){uU((t))，一“(2兀)一1(0)一“(27c)一0，U(0)一(2丁c)一1．有唯一解r()ECEo，2丌]，则周期边值问题：f()+删()+flu(t)一()EL1Eo，2兀]，1(0)一u(2n)一0，(o)一“(27c)一0．有唯一解，即“(￡)一f。G(￡，s)(s)ds，J0其中G(，、fr(t一5)，0≤s≤t≤2n；t，s)一J1、r(27c+t—s)，0≤t≤S≤27c．引理3线性周期边值问题式(2)存在唯一解r()

6、一lexp(一号)[sin+exp(一a丌)sin(2n-t)-]·此处p=aE1-2exp(-an)cos2ar~+exp(一2)]，一寺、／／4卢一d。．证明：注意到a>O，O~4fl-a<1，直接计算即可．由r(f)的表达式，容易知道r()>O，tE(0，2n)．再根据引理2和引理3可知，问题(1)等价于积分方程：)一G))(3)其中fr(t—s)，0≤S≤t≤2n；一，、一{1r(2兀+t一5；)，0≤t≤s≤2n．『吉exp()[si。一)-}-exp(_觚)Si(2n-t)]，o≤s≤￡≤2n；l~-exp(箜二[-sin2(2n+—s)+exp(-

7、an)sin2(s—)]，。≤≤s≤2兀，引理4VS，tEEo，27c]，成立不等式：P[1+—ex—p(-—an)c—os—2An—]s一in2An≤G(”)≤P．‘证明设(￡)一sinat+exp(-an)sin),(2n-t)，tEEo，27c]，则(0)一e—sin2An，h(2n)一sin2an，t∈Eo，27c]并且h()一acosAt—Aexp(-an)COSa(2n一￡)，()一一[-sinAt+exp(-an)sin(2n—f)]<0，故h(f)于rO，27c]是凸函数．令h()一0，可得cotAt==sin2an————p———(—a——n—

8、—)———-————c—