奇异二阶边值问题的正解.pdf

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1、第18卷第1期工程数学学报VO1.18NO.12001年02月Fe.2001JOURNALOFENGINEERINGMAT~EMATICS文章编号1005-30852001>01-0135-04奇异二阶边值问题的正解郝兆才刘明海曲阜师范大学数学系山东曲阜273165>摘要研究了奇异二阶边值问题"pt>ft>=00>0>=01>1>=0给出了正解的存在性改进和推广了一些已知结果G关键词二阶边值问题;正解;锥分类号AMS1991>34B15;34B25中图分类号O175.8文献标识码A1引言对于产生于非线性扩散问题和气体的热点火模型的二阶边值问题"pt>f>=00在哪个

2、范围取值能使问题1>有正解即特征值问题>近年来的研究很活跃也得到了许多深刻的结果G综合分析目前结果易看出基本上都对f的单调性和增长性加了较强的限制且大多集中于Dirich1et边界条件下的情形对于不要求f单调性和对f增长性限制较弱情形下的研究目前所得结果不太多G文[1]对这一类型问题进行了讨论在非奇异条件pC[01]>下得到了问题1>正解的存在性G本文讨论下列更广泛的奇异边值问题"t>pt>ft>=000>0>=01>1>=03>其中0=0pC01>fC[01]>[0>>[0>>>0为常数p可以在端点t=01处具有奇异性G本文给出了问题2>与3>正解的存在性改进和推

3、广了文[1]的主要结果G2预备知识设G为边值问题"=0满足式3>时的Green函数则直接计算可知收稿日期1999-06-22.作者简介郝兆才1972年7月生>男硕士.讲师主要研究非线性微分方程.基金项目山东省自然科学基金Y98A09012资助项目>.136工程数学学报第18卷((Y+6-Yt)(B+as),OSsStS1pG(t,s)=<(4)(Y+6-Ys)(B+at),OStSsS1LppOSG(t,s)SG(s,s)S,OSt,sS1(5)4aY记I=[O,1],C+[O,1]={UC(I)IU(t)2O},在I=O或O时,定义If(t,U)f(t,U)f:=limU-I

4、maxtI,fI=limU-ImintI,UU为叙述方便,列出以下假设:1(H1)OO知,存在tO(O,1),使得OP(tO)>O,取6(O,1),在C+[O,1]中构造锥P6={UC+[O,1],mint[6,1-6]U(t)2M6U},其26+6YB+6a中U=maxt1IU(t)I,M6=min,,易验证{Y+6a+B}M6G(s,s)SG(t,s),t[6,1-6],sI(6)定义6I如下1-61-6

5、G(6,s)P(s)ds=maxG(t,s)P(s)ds(7)6tI63主要结果定理1假设(H满足,则对任意满足1),(H2)111-6<<1(8)OM6(G(6,s)P(s)ds)fO(G(s,s)P(s)ds)f6O的,问题(2)(3)在P中有一正解G61证明对任给满足式(8)的,易于验证,积分方程U(t)=G(t,s)P(s)f(s,U(s))dsO的解为BVP(边值问题)(2)和(3)的解G由(H满足,可定义积分算子T:P+1)6-C[O,1]1TU(t)=G(t,s)P(s)f(s,U(s))ds(9)O则T在P中的不动点即为BVP(2),(3)的解,为了层次清楚,把

6、以下证明分成两部分G6(I)T:P6-P6且全连续,对VUP6,由(5)和(9)两式易得,1TUSG(s,s)P(s)f(s,U(s))ds(1O)O综合(6)和(1O)式,有1minTU(t)2M6G(s,s)P(s)f(s,U(s))ds2M6TUt[6,1-6]O从而T:P再证T全连续G由Lebesgue控制收敛定理可证T连续,还需证T为紧算子G6-P6G第1期郝兆才,刘明海,奇异二阶边值问题的正解13作辅助函数11inf{p(t),p()},OStSnn1n-1pn(t)=p(t),StS(11)nnn-1n-1inf{p(t),p()},StS1Lnn1Tnu(t)=

7、/G(t,s)pn(s)f(s,u(s))ds,n22(12)O易证对Vn22,T都是P上的紧算子O对VT>O,记B则T在n0T={uEP0,uST}OnBT上一致逼近TO事实上,对固定的T>O及uEP0,VtE1,类似文[2]可证下式恒成立11nTnu(t)-Tu(t)SM[G(s,s)p(s)-pn(s)ds+G(s,s)p(s)-pn(s)ds](13)On-1n其中M=max由(H及OSp知,当n充分大时,(13)式右端sE1,uE[O,T]f(s,u)O1)n(s)Sp