竞赛讲座：基本不等式与柯西不等式.pdf

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1、基本不等式应用一．基本不等式2222ab1.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取2“=”）*ab*2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）22*ab(3)若a,bR，则ab(当且仅当ab时取“=”）2113.若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当且仅当x1时取xx“=”）111若x0，则x2即x或2x-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab3.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”

2、）baababab若ab0，则2即或2-2(当且仅当ab时取“=”）bababa22ab2ab4.若a,bR，则()（当且仅当ab时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域11（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋2x2x1解：（1）y＝3x2＋≥23x2·＝6∴值域为[6

3、，+∞）2x21（2）当x＞0时，y＝x＋≥2x·＝2；x11当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2x·=－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项51例1：已知x，求函数y4x2的最大值。44x51解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以对4x2要进行拆、凑4x5项，1511x,54x0，y4x254x323144x554x1当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，y1。max54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的

4、系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

5、22233当且仅当2x32x,即x0,时等号成立。42技巧三：分离2x7x10例3.求y(x1)的值域。x1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。4当,即时,y2（x1)59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(t1)7(t1）+10t5t44y=t5ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配

6、凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求A最值。即化为ymg(x)B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求g(x)最值。2a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x的单调x2x5性。例：求函数y的值域。2x42x25112解：令x4t(t2)，则yx4t(t2)x24x24t11因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数

7、，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.21x3x11（1）y,(x0)（2）y2x,x3(3)y2sinx,x(0,)xx3sinx22．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；3．0x，求函数yx(23x)的最大值.3条件求最值ab1.若实数满足ab2，则33的最小值是.ab分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，abababab解：3和3都是正数，33≥2