基本不等式和柯西不等式

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1、《基本不等式和柯西不等式》复习课教学设计一：教学目标复习基本不等式和柯西不等式及其推广形式，会用这两个不等式解决一些简单问题，例如证明不等式和求函数最值，掌握相关配凑的技巧，感受数学的美妙，提高数学素养，并培养学生的探究精神。二、重点：熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式难点：求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。四、教学媒体：投影仪五、教学过程：一、引入：（教材回归）1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）3、定理3：如果，那么（当且仅当时

2、取“=”）推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）4、算术—几何平均不等式：①．如果则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；②．基本不等式：≥5、定理1(二维形式的柯西不等式)若都是实数,则.当且仅当时,等号成立几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，，第5页共5页所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。6、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量

3、方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。7、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：8、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立二、精选例题例1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)A．y＝x＋B．y＝cosx＋(0

4、此时ymix=正解2：∵==3++（以下同1）即。例3、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：∴解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）第5页共5页正确的解法是：当且仅当即时练习：1、若,求的最大值2、已知,且满足，则的最大值为？3、若，求的最值。问：上述例题2还有什么方法？（柯西不等式）可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮柯西不等式的应用举例:思考：已知,求的最大值.变式1.已知,求的最大值变式2.已知,求的最小值.变式3.已知,求的最小值

5、思考3.求函数的最大值.例4、已知均为正数，且，求证：。变式迁移1　设x1、x2、…、xn∈R＋，且x1＋x2＋…＋xn＝1，求证：＋＋…＋≥.变式迁移2设正实数a，b，c，满足abc≥1，求＋＋的最小值．第5页共5页三：课堂小结　(1)利用均值不等式证明问题时，要特别注意正、定、等的基本条件．同时要注意不等式的结构特征：(2)利用柯西不等式证明不等式时，关键构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．第5页共5页