4第四讲 热传导方程的解法(2).pdf

《4第四讲 热传导方程的解法(2).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、热传导问题的求解实例1——半无限介质中的温度场控制方程和定解条件2¶¶tt=ax0<<¥2¶t¶xx==0tt0t==0tt¥2006-10-9高等传热学2在有限空间的情况2¶¶tt=a0<

2、

3、()2nnn¶G()tn+altG=()0n¶t2¶Xx()n+=lXx()02n2006-10-9¶x高等传热学8分离求解的结果G(t)=-Aaexp()ltnìX(x)=Bexp(-lx)+Bxexp()--Bxsinll0în12X(x)=+BcosbbxBxsinn12nn2006-10-9高等传热学9特征值和特征函数np对于第一类边界条件，特征值为b=nL特征函数为X(xx)=sinbnn最终的解为¥¥2q2(x,t)=ååGn(t)Xn(x)=-Cnsinbnnxaexp(

4、)bt2006-10-9nn==11高等传热学10待定系数的确定方法利用初始条件和特征函数的正交性，可以得到¥qb2(x,0)==f(x)å(Cxnnsin)n=12LnpC=f(x¢)sinx¢¢dxnLLò02006-10-9高等传热学11解的表达式2Lxn¢pC=(t--t)(1)sinx¢¢dxnò0¥0LLL2C=-(tt)n¥0np¥22q20(x,t)=(t¥--t)åsinbnnxaexp()btn=1np2006-10-9高等传热学12从有限区域到半无限区域整理以后，得到22¥Lnnppéùæöq20(x,tt)=(t¥--t)åsinxaexp

5、êúç÷Ln=1npLLêúèøëûnpp考虑到bbn=,D=，上式变为LL¥212q20(x,t)=(t¥-t)åsinbxaexpéùëû-Dbtbpbn=12006-10-9高等传热学13区域半无限大时当pL®¥,0Db=®和式变成积分L2¥¥=-¢¢¢éù2q(x,t)dbf(x)sinbxsinbxdxaexpbt2pòò00ëû即21¥=--éù2q20(x,t)(t¥t)ò0sinbxexpëûadbtbpb2006-10-9高等传热学14积分结果x22q(x,t)=(t--td)4atexp(hh)20¥ò0pæöxqt(x,)=-(tt)erfç

6、÷20¥èø4at2006-10-9高等传热学15有限区域中的最终解xqt10(x,)=-(tt¥)L¥22q20(x,t)=(t¥--t)åsinbnnxaexp()btn=1npéù¥x22q=(t¥-t0)êú+-åsinbnnxaexp()btëûLnn=1p2006-10-9高等传热学16无限区域中的最终解xL®¥导致qt10(x,)=(tt¥-®)0Læöxqq=20=-(tt¥)erfç÷èø4at即tt-æöx0=erfç÷tt¥-0èø4at2006-10-9高等传热学172.6有内热源的热传导问题——非齐次方程的求解2006-10-9高等传热学

7、182.6.1数学描述2¶¶ttqx(,)t=a+00,t2¶tr¶xctt==00,x==0xLt=0x=02006-10-9高等传热学192.6.2求解的切入点考虑一个瞬间脉冲热源的问题2¶¶PPqx(,)t¢=a+d(t-tt¢),002¶tr¶xcPP==00,x==0xLP=0t=0ì1tt=¢d()tt-=¢í其中î0tt¹¢q(x,tt)tqx(,)¢=-ò0d()ttt¢¢drrcc2006-10-9高等传热学20瞬间热源的作用分析考虑到tt<-¢0和tt>+¢0时热源为零瞬间热源为后续温度变化提供了一个初始条件，因此问题转换为

8、2¶¶PP