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1、☆中学数学教学☆☆复数模最值的求法□许双锁(酒钢一中,甘肃酒泉735000)[关键词]最值;不等式法;数形结合法;函数最值3,法
2、z
3、min=
4、OB
5、=
6、OC
7、-3=3.[中图分类号]G62315[文献标识码]C[文章编号]1004—0463(1999)12—0040—01例21已知复数z满足
8、z+1-i
9、=1,求
10、z-3+4i
11、的最大值和最小值.解法11把z+1-i看成一个复数,把z-求复数模的最值的方法一般有以下三种:(1)不等式法.对于复数z1,z2,有3+4i看成(z+1-i)+(-4+5i),利用复数模的性质不等式来解决
12、1
13、
14、z1
15、-
16、z2
17、
18、≤
19、z1+z2
20、≤
21、z1
22、+
23、z2
24、,①∵z-3+4i=(z+1-i)+(-4+5i),
25、
26、z1
27、-
28、z2
29、
30、≤
31、z1-z2
32、≤
33、z1
34、+
35、z2
36、.②而
37、(z+1-i)+(-4+5i)
38、≤
39、z+1-上面两不等式取等号的条件:在①中,当z1=tz2,t≥0时,右边不等式取等号,t≤0时左边不等i
40、+
41、-4+5i
42、=1+41,式取等号;在不等式②中,与①中取等号的条件左
43、(z+1-i)+(-4+5i)
44、≥
45、
46、z+右正好对调.其实,②的情况完全可以由①包含.1-i
47、-
48、-4+5i
49、
50、=41-1,(2)数形结合法.
51、由复数模的几何意义与复数∴41-1≤
52、z-3+4i
53、≤41+1,运算的几何意义,将复数问题转化为平面几何或解析几何知识来解决.∴
54、z-3+4i
55、max=41+1,(3)函数最值法.把求模的最值问题归结为函
56、z-3+4i
57、min=41-1.数最值问题.较多的情况是化为三角函数的最值说明:为什么本解法没探讨取得.最值的条件是否具备,就肯定了例11复数z满足
58、z+3-3i
59、=41±1就是模的最值呢?原因是已3,求
60、z
61、的最大值和最小值.知条件是
62、z+1-i
63、=1.就z+解法11把z+3-3i看成z与3-1-i作为一个复数而言,它的辐角没
64、有任何限制,也就是说表示复数z+3i的和就可以用复数的模的和、差性质来解决1-i的向量方向是任意的,而模的不.等式性质中等号成立的条件就是表示∵3=
65、z+3-3i
66、≥
67、
68、z
69、-两复数的向量同向或反向的问题.因
70、3-3i
71、
72、=
73、
74、z
75、-23
76、,∴此本解法中“41-1≤
77、z-3+
78、
79、z
80、-23
81、≤3.∴3≤
82、z
83、≤4i
84、≤41+1”中的等号是成立的,不用具体考33,令z=t(3-3i),(t≤0),代入
85、z察.另外,本题也没有要求求模取得最值时的z值1.+3-3i
86、=3,得
87、t+1
88、=,∴t=2解法21数形结合法1由
89、z+1-i
90、=1
91、知31复数z在复平面上的对应点Z在以-1+i对应-,或.22点C为圆心,以1为半径的圆上.而
92、z-3+1334i
93、就是该圆上点Z到定点A(A点对应的复数∴当t=-2,即z=-2+2i时,是3-4i)的距离,如图(2).直线CA交该圆于3P1,P2两点,显然
94、AP1
95、,
96、AP2
97、分别是该圆上
98、z
99、min=3;当t=-2,即z=点Z到点A的最大与最小距离1933∴
100、z-3+4i
101、max=
102、AP1
103、=41+1,-+i时,
104、z
105、max=33122
106、z-3+4i
107、min=
108、AP2
109、=41-1.解法21数形结合法.在复平面上用复数模及例31已
110、知
111、z
112、=1,求u=
113、z2-z+1
114、的复数运算的几何意义直观解决.最值,并求u取得最值时的z值.满足
115、z+3-3i
116、=3的复数z,在解:鉴于
117、z
118、=1,可用复数的三角形式,将2u=
119、z-z+1
120、转化为z的辐角θ的函数u复平面上对应点Z的集合,是以-3+3i对应(θ)求解较易.点C为圆心,以3为半径的圆.
121、z
122、表示此由
123、z
124、=1,设z=cosθ+isinθ,(θ∈R),圆上点Z到原点O的距离
125、OZ
126、.如图(1),过22则u=
127、z-z+1
128、=
129、(cosθ+isinθ)-O,C两点的直线与此圆交于A,B两点,由平面几(cosθ+isin
130、θ)+1
131、=
132、(2cosθ-1)(cosθ+isinθ)
133、何知识易知,
134、OA
135、,
136、OB
137、分别为
138、OZ
139、的最=
140、2cosθ-1
141、.大、最小值.因而∴当cosθ=-1,即z=-1时,umax=3;
142、z
143、max=
144、OA
145、=
146、OC
147、+3=3113当cos=,即z=±i时,umin=0.22240甘肃教育1999年12期©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
