有关阿波罗尼斯圆的探究及应用.pdf

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1、《数学之友》2011年第16期有关阿波罗尼斯圆的探究及应用姜卫东(江苏省扬州中学，225009)初始问题:设A，B是平面内的两个定点，平面可得性质1．内的动点C到点A的距离与到点B的距离的比为性质2:CM，CN分别是∠ACB及其外角的平分定值λ(λ＞0)，求点P的轨迹．线，且CM⊥CN．这是一个简单的问题，我们可以通过解析法来AMCA在△ABC中，据阿氏圆的定义可知，==处理．可设定线段AB的长2a(a＞0)，以线段AB所MBCB在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直λ．利用平面几何知识可证:CM平分∠ACB，同理可角坐标系，这时A(－a

2、，0)，B(a，0)，设P(x，y)．由证:CN平分∠ACB的外角，从而易得CM⊥CN．22CA=λ，得槡(x+a)+y=λ，化简得:(1－λ2)x2+2关于阿波罗尼斯圆之应用CB槡(x－a)2+y222222对于阿氏圆及其相关性质，在各类考试中都有(1－λ)y+2a(1+λ)x+a(1－λ)=0．当λ=1时，方程即为x=0，此时轨迹是y轴，所涉及，在解题中有较广泛的应用．也就是线段AB的中垂线;2．1直接考查与阿氏圆有关的轨迹问题当λ＞0且λ≠1时，配方整例1如图:圆O1和圆O2的半径都等于1，22a(λ+1)2O1O2=4，过动点P分别作圆O

3、1，圆O2的切线PM，理得:[x－2]+y=λ－1PN(M，N为切点)使得:PM=槡2PN．试确定平面直22aλ(2)，此时轨迹是一个圆，角坐标系，并求动点P的轨迹方程．λ－1解:本题就属于考查与阿氏2a(λ+1)2aλ它的圆心为(2，0)，半径为2如右图圆有关的轨迹问题．当然在求切λ－1

4、λ－1

5、线长PM，PN时，不应直接用两所示．点间的距离公式来求，而应构造实际上，在上面问题中(λ≠1)所涉及到的圆，Rt△，利用勾股定理来求．就是著名的阿波罗尼斯圆(以下简称阿氏圆)．如图，以O1O2的中点1关于阿波罗尼斯圆之探究为原点，O1O2所在直线为x轴

6、，建立坐标系．则O1(－2，CA0)，O2(2，0)，设P(x，y)，由(1)由前面的解题过程可知:在平面内，满足CB22PM=槡2PN得:PM=2PN，=λ(λ＞0，λ≠1)的动点C的轨迹是阿氏圆．实际22∴PO1－1=2(PO2－1)，代入点的坐标并化简得:上，根据轨迹方程的纯粹性和完备性可知，阿氏圆上22(x－6)+y=33，这就是所求的轨迹方程．CA的任意一点C也必定满足=λ(λ＞0，λ≠1)．实际上，类似的问题在全国高考卷中早已考过．CB2例如:已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C:x+(2)由前可知，阿氏圆的直径必在直线AB上，2y

7、=1，动点M到圆C的切线与

8、MQ

9、的比等于常数在上图中，若设它的两个端点为M，N，则有以下两λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什个性质:么曲线．性质1:M，N分别是线段AB的内分点和外分2．2以阿氏圆为载体(背景)考查定点、最值问题AMAN点，且==λ(λ＞0，λ≠1)．22MBNB例2已知圆C:x+y=9，点A(－5，0)，直线因为M，N在阿氏圆上，故由阿氏圆的定义直接l:x－2y=0．·56·《数学之友》2011年第16期(1)求与圆C相切，且与直128－(x2－12)2代入上式，整理得:S△ABC=，由三线l垂直的直线方程;槡1

10、6(2)若在直线OA上(O为角形的三边关系知槡2x+x＞2且x+2＞槡2x，解得2坐标原点)，存在定点B(不同槡2－2＜x＜2槡2+2，故当x=2槡3时，S△ABC取得最大PB于点A)，满足:对于圆C上任意一点P，都有为一值为2槡2．PA此种解法，是函数思想的具体应用，而且在求解常数，求所有满足条件的点B的坐标．的过程中，应注意充分运用隐含条件“三角形中三PB解:(2)假设存在这样的点B(t，0)，使得PA为边之间的关系”，求出函数的定义域．这种仅从数的常数λ，则PB2=λ2PA2，∴(x－t)2+y2=λ2［(x+角度来研究问题显得较为繁琐!如

11、果换个角度思考5)2+y2］，将y2=9－x22+t)x+问题，即从形的角度来考虑，借助于阿氏圆来处理，代入，整理得2(5λ222就要方便得多!略解如下:由三角形的面积公式可34λ－t－9=0对x∈［－3，3］恒成立，∴5λ+t=039知，要使得S△ABC达到最大，只需AB边上的高达到22且34λ－t－9=0，解得λ=，t=－或λ=1，t55最大即可．又由AC=槡2BC，得=－5(与点B重合，故舍去)，所以存在点BAC=槡2，所以点C的轨迹就是9PB3BC(－5，0)对于圆C上任一点P，都有PA为常数5．一个阿氏圆，从图形容易知道从表面上看，本题

12、是以阿氏圆为背景的一个解AB边上的高的最大值．以AB所在直线为x轴，以析几何的定点问题，我们是通过变量分离，转化为恒AB的中点为原点，建