数学物理方程期末试卷与答案分析.pdf

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1、2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥1、长度为l的弦左端开始时自由，以后受到强度为Asint的力的作用，右端系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为(x),初始速度为(x).试写出相应的定解问题。(10分)2、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，x(lx)设单位时间流入单位截面积的热量为q，杆的初始温度分布是，试写出2其定解问题。(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分)：2uu2,0x4,t0txu0,u0,x0x4u2xt0.4、分离变量法求定解问题(10分)222u

2、ausinxcosx,(0xl,t0)ttxxllu(0,t)3,u(l,t)6x4u(x,0)31,u(x,0)sinxtll5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：22u2ua22txu(x)xat0u(x).xat0(0)(0)16、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）22u2u2a2cosx,x,t0txuusin2x,0t0t0t7、用积分变换法求解定解问题（10分）：2u1,x0,

3、y0xyux0y1,u1,y08、用积分变换法求解定解问题(10分)：2uau,xR,t0ttxxu(x,0)sinx,u(x,0)0t9、用格林函数法求解定解问题(10分)：22uu0,y0,22xyuf(x),x.y010、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10分)2答案及分析1、解:这是弦的自由振动，其位移函数u(x,t)满足2uau,（2分）ttxx2T其中a.由于左端开始时自由，以后受到强度为Asint的力的作用，所以u(0,0)0,Tu(0,t)Asint0,

4、t0,xxAsint因此u(0,t),t0.（2分）xT又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面，所以Tu(l,t)ku(l,t)0,即Tu(l,t)ku(l,t)0.（2分）xx而初始条件为u(x),u(x).（2分）t0tt0因此，相应的定解问题为2uau,0xl,t0,ttxxAsintu(0,t),Tu(l,t)ku(l,t)0,t0.（2分）xxTu(x),u(x).t0tt02、解：侧面绝热，方程为2uau,0xl,t0（3分）txx边界条件为qu0,u,t0（3分）x0xxlk初始条件为

5、x(lx)u,0xl（3分）t02因此，相应的定解问题为：32uau,0xl,t0txxqu0,u,t0x0xxl（1分）kx(lx)u,0xlt02u(x,t)X(x)T(t)3、解令（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：'''T(t)T(t)0X(x)X(x)0X(0)X(4)0，（2分），由边界条件得到，222n2对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令，得到42为22nntX(x)BsinnnT(t)T(t)C;e16特征值，特征函数4(1分)，再解，得到nn（222ntnxu(x,t)

6、(Ce16sin,n分），于是n14（1分）再由初始条件得到24n16n1C2xsinxdx(1)n404n（1分），所以原定解问题的解为22nt16nnxu(x,t)(1)1e16sin,n1n4（1分）4、解：令u(x,t)V(x,t)W(x)（1分）将其代入定解问题可以得到：2VaV,(0xl,t0)ttxxV(0,t)0,V(l,t)0.....(1)（1分）x4V(x,0)31W(x),V(x,0)sinxtll222aW(x)sinxcosx0ll(2)（1分）

7、W(0)3,W(l)62l4x(2)的解为：W(x)sinx31（2分）2232all4对于(1)，由分离变量法可得一般解为natnatnxV(x,t)ancosbnsinsin（2分）n1lll由初始条件可求得：2l4al4at4xV(x,t)costsinsin(2分)2232al4all所以，原定解问题的解为：22l4