第六章 Bloch电子的准经典模型.pdf

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1、2010《固体物理基础》讲义第六章Bloch电子的准经典模型第六章Bloch电子的准经典模型晶体中传播的电子，由于平移对称性的存在，其波函数满足Bloch 形式，是调幅的平面波，不同格点处的波函数具有一个由位置差决定的相位因子，因此晶体中的电子经常也被称为 Bloch电子。在上一个章节中，在绝热近似、单电子近似和周期场近似的假设下，借助Bloch波函数的形式，以典型的近自由电子近似和紧束缚二种方法讲述了如何求解周期势下v单电子的 Schrodinger方程，获得了一种基态条件下的电子能带色散关系e(

2、k )。但求出晶体中的电子能带结构，并不能帮助我们解决晶体中电子在电场、磁场和温度场下的行为，而这正是我们需要了解的电子电磁和导热行为。因此，自然想到的是：是否可以根据获得的电子色散关系，来考虑电场和磁场下电子的运动规律？如果可以，又该如何进行？如果不可以，需要修正建立的新物理模型又应该如何表述？针对上面的这些问题，我们来进行简单的分析：首先是前面 Bloch电子的色散关系式在vvv周期性的条件下获得的，即满足V (r +R )=V (r )；当存在电场、磁场和温度场的情况下，nv必然会在势V(r)

3、的基础上叠加一个矢势，这个矢势不一定也满足晶格的周期性。所以，此时的 Schrodinger方程不再是一个周期场下的 Schrodinger方程，先前的三个基本近似不再成立，方程无法求解；其次，为了避免直接求解外场下的Schrodinger方程，是否可以三个近似下获得的基态解作为零级近似来了解外场下电子的运动规律？从这一点来看，后者显然是一种可行的路径。1.电子运动的半经典模型（将自由电子理论中的准经典模型推广为半经典模型，引入有效质量、空穴等重要概念。）61 2010《固体物理基础》讲义第六章Bl

4、och电子的准经典模型从过去的金属自由电子气体模型的一系列结果，可以看出以粒子模型来考虑晶体中Bloch电子在电场、磁场和温度场下的运动是很方便的。因此，考虑能不能在基态Schrodinger方程的基础上引入粒子模型？虽然Schrodinger方程解出波函数和对应的本征能级，似乎在很大程度上强调的是电子的波动性，但量子力学注重的是电子的波粒二象性，即在考虑波动性的基础上，并不排斥粒子性。所以在前面基态Schrodinger方程获得能带色v散关系e(k )的基础上，引入粒子性应该是可行的。晶体中电子—

5、—Bloch电子在外场中的势能与晶格周期势相比是很弱的，可以近似地将能带中的电子态看成是一个准经典粒子，然后研究它们在外场中的运动，这个近似实质上就是基态Bloch电子波动性描述的基础上，又引入经典物理Newton力学的方式描述Bloch电子外外场中的运动规律，因此称为准经典近似（quais-classicalapproximationorsemi-classicalmodel）。vv在量子力学中，可以注意到电子波包（wavepocket）被定义成波矢k 附近Dk 范围内电子0波函数叠加，波包的运动

6、在一定范围内可以体现出电子运动的粒子性特征。根据这一特征，62 2010《固体物理基础》讲义第六章Bloch电子的准经典模型vv可以Bloch电子波包的形式体现其粒子性。设Bloch波包由以k 为中心在Dk 范围内电子波0vv函数叠加而成，Dk 的范围不超过布里渊区的线度（即Dk<<2p/ a ，l>>a）。以一维情况为例，在波矢k 附近Dk范围内Bloch电子波的幅度ur(x )»uv(x )，波包可描述成0k k 0Dk Dk k 0 +k 0 +22()òi (kx -wt )òi (kx -

7、wt )yx,t=u(x )e dk =u(x )e dk ，k k 0 Dk Dk k -k -0 0 22æd wö令k =k 0+x;w=w0+ç÷x，则èdk ø0Dk éæd wöùsin êx -ç÷t ú()i (k 0 x -wt )2 ëèdk ø0ûyx ,t =u (x )e k0Dk éæd wöùêx -ç÷t ú2 ëèdk ø0û由波包中心的位置x就可求出以k 为中心波包的速率v(k )00æd wöx =ç÷t èdk ø0，()æd wö1ædEöv k 0=ç÷=

8、ç÷èdk ø0hèdk ø0推广到三维情况就得vv1vv (k )=Ñre(k )k h在考虑了 Bloch电子的速率以后，就可继续考虑 Bloch电子在外场力情况下运动状态的v变化。以 Bloch电子在电场E中为例。在dt的时间内电场力做功rrde=-eE×v dt rrrrÑve(k ).dk =-e E×v dt krrv1 rrrrdk -e EFexternal hÑve(k).dk =-e E×v dt ,==，即k hdt hhvr&F=hk exte