对Bloch定理中覆盖圆的估计-论文.pdf

《对Bloch定理中覆盖圆的估计-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．4对Bloch定理中覆盖圆的估计刘素红(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要：本文研究了Block定理覆盖圆问题．利用微分与积分估值法，对覆盖圆的半径做了更精确地估计，得到了两个相关定理，扩大了覆盖圆的范围．关键词：Bloch定理；全纯函数；双方单值映射MR(2010)主题分类号：30C25；32A10中图分类号：O174．52文献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)04—0691—051引言及主要结果Bloch定理[]设函数W=f(z)在lf≤

2、1上全纯，并设它的Taylor展式为f(z)=Z+a2z。+⋯，1则在W平面上存在一个中心随，而定，半径为的圆，这个圆被W=f(z)的反函数双方单值地映射成ff<1内某个区域．也就是说，f(z)在If≤1上的值完全盖住W平面上一个以为半径的圆．本文对Bloch定理中的覆盖圆做出了更为精确的估计得到下面两个结论：定理1设函数W=f(z)在lI≤1上全纯，并设它的Taylor展式为f(z1=Z+a2z+则在平面上存在一个中心随，而定，半径为：{(大于1)的圆，这个圆被叫：f(z)的反函数双方单值地映射成ll<1内某个区域．也就是说，，()

3、在IZ1≤1上的值完全盖住W平面上一个以B为半径的圆．定理2设函数W=t厂()在IZ—Z0l≤R上全纯，并设它的Taylor展式为f(z)=(一0)+a2(—zo)。+则在W平面上存在一个以某点为中心，以BR为半径的圆，这个圆被W=f(z)的反函数双方单值地映射成l—Z0I

4、介：刘素红(1970一)，女，陕西宝鸡，讲师，主要研究方向：复分析．数学杂志在叫平面上存在一个圆J『<赢，它被=_厂()的反函数双方单值地映成}I<1内某一个区域．也就是说，W：t厂()在1I≤1上的值完全覆盖了W平面上的圆=．证因a0=，(0)，al=．厂(0)=1，所以W=f(z)在=0处的Taylor展式为f(z)=+a2z+⋯(1f≤1)，由Cauchy不等式及a1：，(0)：1可得M≥『aI(n=1，2，⋯)，M≥JalJ≥1，当l{=r<1时，xI)一l≥r—M(r+，r。+⋯)=r一Mr2i)I)一zma=(r)．1zl

5、：=1』一’设r=1(s>1)，那么)r一Mr2≥1(21)=)r一=一，=，令(s)=0，得s=2+，且当s>2+时，(s)<_!D，当s<2+时，(s)>0故当s=2+时，砂(s)取得最大值为(2+)1，所以l，()l≥(r)=(s)≥W(2+、／／)，即在围线c：1I=r：西南上有If(≥()=2+))=丙1(从而在圆周1名f=上，不等式I．厂()『≥()≥成立)．下证在平面上，圆I叫I南内任一点在广作用下，在II南设训。是圆I叫l=内任一点，则在圆1l：上有I。I<南-<1)I‘刘素红：对Bloch定理中覆盖圆的估计据Rouc

6、he定理[2-3]有x(f(z)一WO，C)=Ⅳ(t厂()，)，其中Ⅳ(，()，C)表示函数在围线C内零点的个数．因f(O)=0，故f(z)的零点在圆C内是存在的；又当≠。且ff=r<时有f(z)I≥-Mr2：!二±>01一r1一r(否则，若_0j那么r：一M

7、叫=，()的反函数双方单值地映成fZ—of

8、数，从而伽(r)为[0)1]上的连续函数且有：w(0)=1，w(1)=0因为1一与M(r)具有相反的单调性，故在区间[0，1]上存在一个r0<1使w(r0)=1，且当∈(F0，1)时，w(r)<1．数学杂志设l1r0且是