代数部分习题选讲 (2).ppt

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1、第三部分代数结构例题选讲设G为群，H，K是G的子群则H∪K也是G的子群?若群的每个元素的逆元都是它自己，则该群必是阿贝尔群?M(R)关于矩阵加法和乘法运算构成整环?集合的幂集P（B）关于集合的对称差运算和并运算构成环?设G为Mn(R)上的加法群，n≥2，则全体体行列式大于0的矩阵构成子群？设G为群，则e为G中惟一的幂等元?设R为整环，则R的非零元一定有逆元?8.设H和K分别为群G的r，s阶子群，若r和s互质，证明：H∩K={e}证明：①由于H和K分别为群G的子群，显然e∈H∩K。②假若x∈H∩K,且x≠e则x∈H∧x∈K则≤H,≤K由拉格朗日定理知：

2、

3、整除H和K

4、的阶。而H和K的阶分别为r,s，且r和s互素所以

5、

6、为1，所以x=e，与假设矛盾。综上所述H∩K={e}9.证明偶数阶群必含有2阶元证明：设偶数阶群为G，不妨设

7、G

8、=2n下面按元素的阶进行划分：①元素的阶为1,只有单位元e,所以个数为1。②元素的阶为2，设其构成的集合为：A③元素的阶大于2，设其构成的集合为：B.则B的个数一定为偶数。因为a∈G，若

9、a

10、﹥2,则由定理知

11、a

12、=

13、a-1

14、，且a≠a-1,所以阶大于2的元素成对出现。因此B的个数一定为偶数。所以

15、G

16、=1+

17、A

18、+

19、B

20、，即

21、A

22、=

23、G

24、-1-

25、B

26、≥1，所以偶数阶群必含2阶元。10.设H是群G的子群，在G上

27、定义二元关系R:a，b∈G,∈Rab-1∈H,则R是G上的等价关系证明:(1)证明R是具有自反性a∈G,由于aa-1=e∈H由R的定义知∈R(2)再证R具有对称性a，b∈G，若∈R,由R的定义知ab-1∈H，而H是群G的子群，所以(ab-1)-1∈H,即ba-1∈H再由R的定义知∈R,所以R具有对称性。(3)再证R具有传递性a，b，c∈G若∈R∧∈R由R的定义知ab-1∈H∧bc-1∈H再由H是G的子群，所以(ab-1)(bc-1)=a(b-1b)c-1=ac-1∈H再由R的定义知∈R所以R具有传递性。

28、11.设G为群，a∈G，且

29、a

30、=r，设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r

31、k(2)

32、a-1

33、=

34、a

35、证明:(1)充分性：由于r

36、k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ak)m=em=e必要性：若ak=e根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i0≤i≤r-1从而有ak=amr+i=(ak)mai=eai=ai而ak=e所以ai=e因为

37、a

38、=r，必有i=0.这就证明了r

39、k.(2)证明：设

40、a

41、=r

42、a-1

43、=s由于(a-1)r=(ar)-1=e-1=e由(1)知s

44、r同理r

45、s所以r=s因此

46、a-1

47、=

48、a

49、12.设G=是15阶循环群（１）求出Ｇ的所有生成元

50、（２）求出Ｇ的所有子群解：(1)生成元为:a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14（2）G的所有子群:共4个子群,={e,a3,a6,a9,a12},={e,a5,a10},G13.设B是布尔代数，a,b∈B,证明：a≤ba∧b’=0a’∨b=1证明：①a≤ba∧b’=0若a≤b,则a∨b=b所以a∧b’=a∧(a∨b)’=a∧(a’∧b’)=(a∧a’)∧b’=0∧b’=0因此a∧b’=0②a∧b’=0a’∨b=1若a∧b’=0两边分别求补元，即(a∧b’)’=0’所以a’∨b=1