量子力学教程Ch2-2.ppt

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1、Ex.1已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。归一化常数Solve:归一化的波函数(1).求归一化的波函数§2.1波函数的统计解释（续13）1（2）几率分布：（3）由几率密度的极值条件由于故处，粒子出现几率最大。§2.1波函数的统计解释（续14）2注意（1）归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定性（δ为实函数）。若是归一化波函数，那末，也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。若对空间非绝对可积时，需用所谓δ函数归一化方法进行归一化。（2）只有当几率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。§2.1波函数的统计

2、解释（续15）3Dirac—函数定义：或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/,dk=dpx/,则性质：0x0x4Solve：归一化常数★例如平面波的归一化问题ex.2已知平面波,求归一化常数§2.1波函数的统计解释（续16）归一化的平面波：利用5同理，三维平面波：归一化条件归一化条件6*2.已知下列两个波函数试判断:(1)波函数和是否描述同一状态?(2)对取两种情况,得到的两个波函数是否等价?7开1闭2，衍射花样（蓝曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验

3、事实显然§2.2态叠加原理1.电子双缝衍射实验12表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：8物理意义当两个缝都开着时，电子既可能处在态，也可能处在态，也可处在和的线性迭加态。可见，若和是电子的可能状态，则也是电子的可能状态。反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处在态。§2.2态迭加原理（续1）迭加态的概率:干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度9态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态2．态迭加原理§

4、2.2态迭加原理（续3）当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为干涉项2.当体系处于态时，发现体系处于态的几率是，并且103．电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数d电子从晶体表面出射后，既可能处在态，也可能处在、等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成取各种可能值的平面波的线性叠加，即§2.2态迭加原理（续4）电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。11考虑到电子的动量可以连续变化§2.2态迭加原理（续5）（1）即衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果显然,

5、二式互为Fourer变换式,所以与一一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。而（2）12§2.2态迭加原理（续6）若归一化，则也是归一化的Prove:以坐标为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函数以动量为自变量的波函数，动量空间（动量表象）波函数给出t时刻粒子处在位置处的几率给出t时刻粒子动量为的几率二者描写同一量子状态13§2.2态迭加原理（续7）此显示出把平面波归一化为函数的目的一维情况下，与的Fourer变换关系：如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取t=014从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标

6、及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。(1).经典情况§2.3薛定谔方程1.引进方程的基本考虑15(2).量子情况c．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。a．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。b．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(

7、r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ,ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。16又（2）（3）（1）2．自由粒子的运动方程将（1）和（2）式代入（3）式，得§2.3薛定谔方程（续1）（4）17满足运动方程应具有的三个特点，此即为自由粒子的基本运动方程——自由粒子的Schrödinger方程。讨论通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果将能量关系式E=p2/2μ写成如下方程形式：即得自由粒子的Schrödinger方程（4）。再做算符替换：（5）§2.3薛定谔方程（续2）称为能量算符称为动量算

8、符183．