大学初等数论知识点汇总.pdf

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1、第一节整数的p进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。基础知识给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为a,a,,a，则此数可以简m1m20记为：Aaaa（其中a0）。m1m20m1由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的m1次多项

2、式，即m1m2Aa10a10a10a，其中a{0,1,2,,9},i1,2,,m1且m1m210ia0，像这种10的多项式表示的数常常简记为A(aaa)。在我们的日常m1m1m2010生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作Aaaa，以后我们m1m20所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进

3、制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：m1m2Aapapapa，其中a{0,1,2,,p1},i1,2,,m1且m1m210ia0。而m仍然为十进制数字，简记为A(aaa)。m1m1m20p第二节整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方

4、数及整数的尾数等几个方面的应用。1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设a,b是给定的数，b0，若存在整数c，使得abc则称b整除a，记作b

5、a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作ba。由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若b

6、c且c

7、a，则b

8、a(传递性质)；(2)若b

9、a且b

10、c，则b

11、(ac)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知b

12、a及b

13、c，则对于任意的整数u,v

14、有b

15、(aucv)。更一般，若na1,a2,,an都是b的倍数，则b

16、(a1a2an)。或着a

17、bi，则a

18、cibi其中i1cZ,i1,2,,n；i(3)若b

19、a，则或者a0，或者

20、a

21、

22、b

23、，因此若b

24、a且a

25、b，则ab；(4)a,b互质，若a

26、c,b

27、c，则ab

28、c；(5)p是质数，若p

29、aaa，则p能整除a,a,,a中的某一个；特别地，若p是12n12nn质数，若p

30、a，则p

31、a；(6)(带余除法)设a,b为整数，b0，则存在整数q和r，使得abqr，其中0rb，并且q和r由上述条件唯一

32、确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商，数r称为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：0,1，……，b1。若r0，即为a被b整除的情形；aa易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关bb于余数r的不等式：0rb。证明b

33、a的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。nnn1n2n2n1若n是正整数，则xy(xy)(xxyxyy)；nnn

34、1n2n2n1若n是正奇数，则xy(xy)(xxyxyy)；（在上式中用y代y）nm(7)如果在等式aibk中取去某一项外，其余各项均为c的倍数，则这一项也是c的i1k1倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为

35、奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成8m1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m4的形式；m（3）任何一个正整数n，都可以写成n2l的形式，其中