实变函数答案(陕师大).pdf

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1、习题1.11．证明下列集合等式．(1)ABCABAC；(2)ABCACBC；(3)ABCABAC．c证明(1)A(BC)A(BC)cc(ABA)(ABC)c(AB)(AC)(AB)(AC).c(2)(AB)C(AB)Ccc(AC)(BC)=(AC)(AC).c(3)A(BC)A(BC)ccA(BC)cA(BC)c(AB)(AC)(AB)

2、(AC).2．证明下列命题．(1)ABBA的充分必要条件是：BA；(2)ABBA的充分必要条件是：ABØ；(3)ABBABB的充分必要条件是：BØ．cc证明(1)(AB)B(AB)B(AB)(BB)ABA的充要条是：BA.cccc(2)(AB)B(AB)B(AB)(BB)ABcc必要性.设(AB)BA成立，则ABA,于是有AB,可得AB.c反之若AB,取xAB,则xA且xB,那

3、么xA且xB与AB矛盾.cc充分性.假设AB成立,则AB,于是有ABA,即(AB)BA.c(3)必要性.假设(AB)B(AB)B,即ABABAC.若B,ccc取xB,则xB,于是xAB,但xAB,与ABAC矛盾.充分性.假设B成立,显然ABAB成立,即(AB)B(AB)B.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6(1)如果A是渐张集列,即AA(n1),则A收敛且nnn1nlimAnAn;nn1

4、(2)如果An是渐缩集列,即AnAn1(n1),则An收敛且limAnAn.nn1证明(1)设AnAn1(n1),则对任意xAn,存在N使得xAN,从而n1xAN(nN),所以xlimAn,则AnlimAn.又因为limAnlimAnAn,nn1nnnn1由此可见An收敛且limAnAn;nn1(2)当AA(n1)时,对于xlimA,存在nn(k1)使得nn1nkk1nxA(

5、k1),于是对于任意的n1,存在k使得nn,从而xAA,可见nk0k0nk0nlimAnAn.又因为AnlimAnlimAn,所以可知An收敛且limAnAn.nnnnn1n1n14．设f是定义于集合E上的实值函数，c为任意实数，证明：1(1)E[fc]Efc；n1n1(2)E[fc]Efc；n1n(3)若limf(x)f(x)(xE)，则对任意实数c有nn11E[fc

6、]EfclimEfc．nnk1N1nNkk1nk1证明(1)对任意的xEfc,有f(x)c,则存在nZ使得f(x)c成n111立.即xEfc,那么xEfc.故EfcEfc;另nn1nn1n11一方面,若xEfc,则存在n0Z使得xEfc,于是n1nn1n011f(x)cc,故xEfc.则有Ef

7、cEfc.n0n1n1(2)设xEfc,则f(x)c,从而对任意的nZ,都有f(x)c,于是n11xEfc,故有EfcEfc;n1nn1n11另一方面,设xEfc,则对于任意的nZ,有f(x)c,由n的任n1nn1意性,可知f(x)c,即xEfc,故EfcEfc.n1n(3)设xEfc,则f(x)c.由limf(x)f(x)(x

8、E),可得对于任意的nn111kZ,存在N使得

9、f(x)f(x)

10、(nN),即f(x)f(x)c(k1),nnkkk111即fn(x)c,故xlimEfnc(k1),所以xlimEfnc,故knkk1nk1EfclimEfc；nk1nk11另一方面,设x0limEfnc,则对任意kZ有x0lim