矩阵论黄有度41.ppt

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1、第一章线性空间与线性变换1.1线性空间定义设F是一个包含0,1的数集，且若F中的任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F中(即F对这些运算封闭)，则称F为一数域。例有理数集，实数集，复数集都是数域，而整数集不是数域。1.1.1线性空间的定义定义设V是一个非空的集合，P是一个数域，在V中定义两种代数运算,一种是加法运算，即对于V中任意两个元素a与b，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为a与b的和，记为y=a+b;另一种是数乘运算,即对于P中任一数k与V中任一元素a，在V中都有唯一的元素m与它们对应，称为k与a的数乘，记为m=ka。并且这两种运算满足下列八条

2、运算律：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）零元素在V中存在一个元素0，使得对于任意的都有（4）负元素对于V中的任意元素都存在一个元素使得（5）（6）（7）(8)1.1.2基、维数和坐标1.1.3基变换与坐标变换1.2线性子空间1.子空间在线性空间中，由单个零向量构成的非空子集是一个线性子空间，称为零子空间，记为0，其维数规定为0，即dim(0)=0.零子空间和线性空间V自身这两个子空间叫做V的平凡子空间，而V中其它线性子空间叫做非平凡子空间。2.子空间的交与和例：的一个基础解系与通解。求齐次线性方程组解：因此，原方程组与以下方程组同解令自由未知量得方程组的一个

3、解是方程组的基础解系。方程的通解为由维数公式可知，线性空间的两个有限维子空间之和的维数往往小于这两个子空间的维数之和。两个子空间之和的维数等于它们维数之和的情形很重要，这样的两个子空间之和称为直和。1.3内积空间1.3.1欧氏空间与酉空间1.3.2内积的表示，Cauchy-Schwarz不等式1.3.3.空间的正交分解1.4线性变换线性算子的矩阵表示线性变换的值域与核1.5特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量之间的关系