研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度

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1、研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设是阶实数矩阵.的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法和数乘运算：（4）设是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：其中；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设，中元素对于通常的加法与数乘，并证明：是的一个基，试确定的方法.l解（1）是.l令.由矩阵的加法和数乘运算知,ll其中为实数，是实系数多项式.中含有的

2、零多项式，为的零元素.有负元.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.l（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是.封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为,以及任意实数,则有①;②;③存在(0,0),使得,即(0,0)为零元;④存在,使得,即是的负元;⑤⑥;⑦;⑧.（4）是.对任意a，b∈R+，有；又对任意和，有，即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：

3、①②③1是零元素：④a的负元素是：⑤⑥⑦⑧所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.l（5）否.设，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的.故不构成线性空间.l（6）是.集合对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是的零元素；对任意的，是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.为证明函数组是的一个基，由于中的任意函数均可由该组函数表示，故只需证明线性无关.设，分别用乘以上式，并从0到求定积分，得，由于，，故，即线性无关.设，则,故.2．求下列线性空间的维数与一个基：（1）中全体对称（反对称、上三角

4、）矩阵构成的实数域上的空间；（2）第1题（4）中的空间；（3）实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的空间，其中解（1）设是第行第列的元素为1而其余元素全为0的阶方阵.①令，则是对称矩阵，易证线性无关，且对任意阶对称矩阵，其中，有，故是中全体对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.②令，则是反对称矩阵，易证线性无关，且对任意的阶反对称矩阵，有，故是中全体反对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.③对任意阶上三角矩阵，其中，有，又均为上三角矩阵且线性无关，故它们是中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是.（2）数1是该空间的零元素，

5、于是非零元素2是线性无关的，且对于任一正实数，有，即R+中任意元素均可由2线性表示，所以2是该空间的一组基，该空间的维数是1.事实上任意不等于1的正实数均可作为该空间的基.（3）因为，故于是则任意可以表示成的线性组合.又是线性无关的.实际上,设,即，因为关于的该方程组的系数行列式，故方程组只有零解，即，于是线性无关，故是该空间的一组基，该空间的维数为3.3．设表示实数系数多项式全体构成的线性空间，问下列向量集合是否构成的子空间：（1）；（2）；（3）;（4）.解这四个向量集合都是的子空间.由于这些集合均包含零多项式，故非空，下面证明这些集合对多项式的加法和数乘是封闭的.(1)

6、设，对任意的，由于，故，即，因此是的子空间.（2）设，对任意的，由于的常数项均为零，故和的常数项也均为零，即，因此是的子空间.(3)设，对任意的，令，由于，故即，因此是的子空间.(4)设，对任意的，令，由于，故即，因此是的子空间.4．证明下列向量集合组成线性子空间，并求基和维数：（1）第偶数个坐标为零的所有维向量；（2）形如的所有维向量，其中为任意数.解（1）该集合可表示为，显然该集合非空.又对任意的，，由于的第偶数个坐标为零，故和的第偶数个坐标也均为零，即，因此是的线性子空间.当时，中向量的一般形式为，的维数是，向量组是的一组基.当时，中向量的一般形式为，的维数是，向量组，

7、是的一组基.（2）该集合可表示为，显然该集合非空.又对任意的，，有故是的线性子空间.的维数是2，是的一组基.5.在中求由基到的过渡矩阵，并求向量在指定基下的坐标，设（1）在下的坐标；（2）在下的坐标.解设.(1)因为，其中，故，即由基到的过渡矩阵为.又，则在下的坐标为.（2）因为，其中，故，即由基到的过渡矩阵为.又，则在下的坐标为.6.在中给定两个基求一非零向量，使它在两个基下有相同的坐标.解设所求向量为，它在给定的两组基下的坐标均为，即，又其中，则即也即，解之，得该方程组的通解为，其中为任意常数.故所