第二章 解析函数.ppt

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1、第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西—黎曼条件第二节解析函数与调和函数第三节初等函数第一节解析函数的概念及哥西—黎曼条件§2.1.1复变函数的导数1.导数定义定义2.1设函数w=f(z),z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导(可微)。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作等价形式有：如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.注：任意点z的导数称为导函数，或简称导数(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)

2、例1ïþïýü®DDD®DDD;0,0;1,0zfzzfz时取纯虚数趋于当时取实数趋于当2.求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w

3、)0。思考题例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。3.可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?1.函数可微的一个必要条件（哥西—黎曼条件）§2.1.2哥西—黎曼条件本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可

4、导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的可微性呢？存在记忆方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理2.1用定理2.1虽不能判定函数的可微性，但却可以判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数是不可微的下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即该条件的满足并不足以保证函数的可微性。定理2.2设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方

5、程上述条件满足时,有2.函数可微的充分必要条件证明：（1）必要性证明：（2）充分性由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用上述三个定理可以判断大多数函数的可导性.讨论函数的可微性往往比讨论函数的偏导数要麻烦许多，根据数学分析原理我们有如下定理使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.3.举例例1判定下列函数在

6、何处可导：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny但仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则§2.1.3解析函数的概念定义2.2如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解析

7、在D内可导。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析(例1(3)函数只在,固也是奇点,即函数处处不解析).例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。定理设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集

8、合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。例2求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠