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1、第二章解析函数第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数1第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考2一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:3在定义中应注意:4例1解5例2解67例3解892.可导与连续:函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.103.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不
2、加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:1112二、解析函数的概念1.解析函数的定义132.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.14例5解15例6解1617课堂练习答案处处不可导,处处不解析.18定理以上定理的证明,可利用求导法则.19根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.20三、小结与思考理解复变函数
3、导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.21思考题22思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.23第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考24一、主要定理定理一柯西介绍黎曼介绍25证(1)必要性.2627(2)充分性.由于282930[证毕]3132解析函数的
4、判定方法:33二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,34四个偏导数均连续指数函数35四个偏导数均连续36例2证3738例3解39例4证4041例5解42课堂练习答案43例6证44参照以上例题可进一步证明:45例7证根据隐函数求导法则,46根据柯西－黎曼方程得47例8证4849三、小结与思考在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.50思考题51思考题答案放映结束，按Esc退出.52Augustin-LouisCauchyBorn
5、:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料53Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)Died:20July1866inSelasca,Italy54第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考55一、指数函数1.指数函数的定义:56指数函数的定义等价于关系式:572
6、.加法定理证58例1解5960例2解求出下列复数的辐角主值:616263例3解64二、对数函数1.定义65其余各值为特殊地,66例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.67例5解68例6解69702.性质71证(3)[证毕]72三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:7374特殊情况:7576例7解答案课堂练习77例8解782.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,79它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,80四、三角函数和双曲函数1.
7、三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.8182例9解83有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.84(注意：这是与实变函数完全不同的)85其他复变数三角函数的定义86例10解872.双曲函数的定义88它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,89例13解90五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得91同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数
8、的定义92例14解93六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数94思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?95思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的
