23薛定谔方程习题解答.pdf

《23薛定谔方程习题解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1第二十三章薛定谔方程一选择题1.已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为13πxxcosa≤x≤aa2a那么粒子在x=5a/6处出现的概率密度为（A）A.1/(2a)B.1/aC.1/2aD.1/a2.关于量子力学中的定态，下面表述中错误的是（B）A.系统的势函数一定与时间无关B.系统的波函数一定与时间无关C.定态具有确定的能量D.粒子在空间各点出现的概率不随时间变化二填空题1.设粒子的定态波函数为(x,y,z)，则在x(x+dx)范围内找到粒子的概率表达式2为w

2、xdxΨx,y,zdydzdx。2.在有心引力势场k/r中运动的粒子的定态薛定谔方程为22mk(E)0。2r3.粒子在一维无限深势阱中运动，其基态波函数(x,t)为2it2Ψ(x,t)2asinπxae2ma。4.在电子能量E小于势垒高度U0的情况下，电子透过势垒的概率随着电子能量的增大而增大；随着势垒宽度的增大而减小。三计算题21.设体系的波函数为x,tAexp(xit)，式中A,,22均为正实数。为使波函数满足

3、方程ix,tx,tUx,tx,t，势t22mx函数应该是怎样的形式？（提示：将波函数代入题中方程。）22解：将波函数为x,tAexp(xit)代入方程的左边，得到ix,tx,tt2将波函数为x,tAexp(xit)代入方程的右边，得到2222x,tUx,tx,t=2x1x,tUx,t(x,t)22mmx令上两式相等，得势函数22U(x,t)2x

4、1m2.试计算在宽度为0.1nm的一维无限深势阱中，处于能量量子数n=1,2,100,101的各定态的电子能量。如果势阱宽度为1.0cm，结果又如何？解：根据电子定态的本征能量公式2h2En2nn1,2,3,8ma当a=0.1nm时，342(6.62610)E131921937.7eV89.110(0.110)1.610E2=E122=150.8eVE100=E11002=3.77105eVE101=E11012=3.85105eV当a=1.0cm

5、时，E1=37.71016eVE2=150.81016eVE100=3.771011eVE101=3.851011eV即各能量值是第一种情况的1016倍，各能级可看成是连续的。3.试计算在宽度为a=21010m的一维无限深势阱中，电子由n=3的能级跃迁到n=1的能级时所发出的光波波长。解：电子由n=3的能级跃迁到n=1的能级时，发出的光波波长满足下列关系hcE3E1根据电子定态的本征能量公式2h2En2nn1,2,3,8ma3得到22hc2hh(31)2

6、28mama因此2318102mca9.1103.010(2.010)81.6510mh346.626104.粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：nx2asinnπxa0xa试求：粒子处于n=1和n=2的状态时，在0

7、()sindx0aaa/32xa2nπx112nπ(sin)sina24πna32πn30113113若n=1，概率P0.195；若n=2，概率P0.402。32π234π25.在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度a必须等于德布罗意波长半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式222Ennh/(8ma),n1,2,3,……2p（提示：非相对论的动能和动量关系为E。）2m解：依题意，有如下关系n/2=a或=2a/n根据德布罗意波长公式=

8、h/p，则有p=hn/(2a)。222故在一维无限深势阱中运动的粒子能量Enh/(8ma),n1,2,3,……222pnhEm228ma即222Ennh/(8ma),n1,2,3,……46.假设一个微观粒子被封闭在一个边长为a的正立方盒子内，试根据驻波概念导出粒子的能量为2h222En2(nxnynz)8ma其中nx、ny、nz是相互独立的正整数。解：本题中的粒子可看成是在三维无限深势阱中运动，由于边界条件的限制，在盒壁处波函数为零，粒子在盒子内形成三维驻波。与在