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1、第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第二章波函数与薛定谔方程−λx⎧Axe(0x>)1、一维运动的粒子处在ψ()x=⎨的状态，其中λ>0，求：⎩0(x≤0)（1）将此波函数归一化；（2）粒子坐标的概率分布函数；（3）在何处找到粒子的概率最大。∞∞222−2λx解：（1）由归一化条件：∫∫
2、()
3、dψxxA=
4、
5、xexd1=0022∞∞222−−λλxx22222442λλx++xA−∞λx
6、
7、有
8、
9、AxexAxd
10、
11、=exd=−
12、
13、Ae
14、=∫∫3300084λλ2
15、
16、A3∞na−xn!即：=1，因此A==22λλλxedx=4λ3∫0an+1⎪⎧−λx>
17、2(λλxex0)归一化的波函数为：ψ()x=⎨⎪⎩0(x≤0)322−λx2⎧4(λxex>0)（2）粒子坐标的概率分布函数为：wx()
18、()
19、==ψx⎨⎩0(x≤0)d()wx32−−λλxx22（3）由=−=4(2λλxe2xe)0，dx有：xxx==0,∞=,1/λ，据题意取x=1/λ。123311221−−αxitω2、一个势能Ux()=μω22x的线性谐振子处在ψ(,)xt=Ae22的状态，其中2μωα=,求：（1）归一化因子；（2）在何处发现粒子的概率最大。=11221122−+αωxit+∞22+∞−αωxi−t22解：（1）由归一化条件：∫∫
20、(,)
21、d
22、ψxtx=
23、
24、Ae22edx−∞−∞22+∞22π2α=−
25、
26、Ax∫exp(α)d
27、
28、x=A=1因此有：
29、
30、A=−∞απα所以归一化因子为：A=π2222d()wxd
31、(,)
32、ψαxtd[
33、A
34、exp(−x)]2222（2）由===
35、Axx
36、[2−ααexp(−)]0=ddxxdx得xx==0;∞，据题意，当x=0时，发现粒子的概率最大。121第1页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》3、下列波函数所描写的状态是不是定态？EE（1）ψ(,)xt=−u()exp(xixit)+−v()
37、exp(xixi)exp(−t)；1==EE12（2）ψ(,)xtux=−()exp(itux)+−()exp(it)；2==EE（3）ψ(,)xtux=−()exp(ituxit)+()exp()。3==解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无关；3）概率流密度是否与时间无关EE先看ψ(,)xtuxi=−()exp(xitvx)+−()exp(ix)exp(−it)1==E=+[()exp()uxixvx()exp(−ix)]exp(−it)=由此可见，其能量值为固定值E，故此状态为定态。EE12对于ψ(,)xtux=−()ex
38、p(itux)+−()exp(it)，显然有两个可能的能量值E和E，212==所以不是定态。EE对于ψ(,)xtux=−()exp(ituxit)+()exp()，显然能量有个量取值E和−E3==可以验证概率密度及概率流密度是否随时间变化。⎧aa0−≤≤x⎪⎪224、求粒子在一维无限深势阱中的波函数及能级。势阱为：U=⎨⎪∞
39、
40、x>a⎪⎩2解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为22=d−+ψψ()xUx()()xEx=ψ()22dμx在各区域的具体形式为22a=dⅠ：xx<−−ψψ()+U()x()x=Eψ()x①211122μdx22ada=Ⅱ：-≤≤xx
41、−ψψ()=E()x②222222μdx22a=dⅢ：xx>−ψψ()+=U()x()xEψ()x③233322μdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=∞，要等式成立，必须ψ(x)=0ψ()0x=13第2页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》即粒子不能运动到势阱以外的地方去。2d()ψx2μE2方程(2)可变为+=ψ()0x222dx=222μEd()ψ2x2令k=，得+kxψ()0=222=dx其解为ψ(x)=Asinkx+Bcoskx④2根据波函数的标准条件确定系数A，B，
42、由连续性条件，得aaaaψ(−=−)ψ()=0⑤ψ()=ψ()=0⑥21232222kakakaka由此得−+=ABsincos0ABsin+cos=02222A和B不能同时为0，否则波函数处处为0，意味着粒子到处都不出现，无物理意义。因此得到两组解kakaA==0,cos0；B=0,sin=022kanπnπ由此得，=，即k=22a对第一组解，n为奇数；对第二组解，n为偶数，因此体系的能量为：22π=2Enn==(1,2,3,")能量是量子化的n22μa两组波函数的空间部分：⎧nπaaBxxcos,-≤≤⎪⎪a22ψ=⎨n为
