一元二次方程根的判别式.docx

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1、一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它

2、的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究，获取新知1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？2.观察求根公式回答下列问题：（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac来判断的.【归纳结论】我们把b2-4

3、ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，.⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根.⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的情况.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9(3)7y=5(y2+1)解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0所以，原方程有两个不相等的实数根.（2）将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=

4、0因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以，原方程有两个相等的实数根.（3）将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知，深化理解1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是．【答案】p2-4q=02.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为.【答案】-1，-63.判断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0

5、解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根解：（1）有（2）没有4.不解方程，判定方程根的情况.（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=

6、17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2

7、-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集为x<-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没