动态最优化第6讲变分法约束问题.pdf

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1、动态最优化方法——第6讲变分法约束问题第六讲变分法约束问题基本形式的变分法：TMax或MinVyFt,yt,ytdt0边界条件带有约束条件的变分法：TMaxVFt,y,,y,y,,ydt1n1n01gt,y,,yc1n1S.T.mgt,y,,yc1nm适当的边界条件第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束形式：（m个独立的约束，m

2、gt,y,,yc1nm适当的边界条件第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：nMinfx,xES.T.hx0,i1,2,,mi构造拉格朗日函数：mLx,fxhxiii1T,,,为拉格朗日乘子12m第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：最优解满足拉格朗日条件：mLx,fxhxii0,j1,,nxjxji1xjLLx,hx0

3、,i1,,miim最小化Lx,fxihixi1等价于满足约束条件的最小化fx第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：约束条件有时候是这种形式：nMinfx,xES.T.hxC,i1,2,,mii拉格朗日函数：mLx,fxiCihixi1拉格朗日乘子的经济学含义:外生参数C的影子价格ii第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：最优解满足拉格朗日条件：mLx

4、,fxhxii0,j1,,nxjxji1xjLLx,Chx0,i1,,miiim最小化Lx,fxiCihixi1等价于满足约束条件的最小化fx第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束TMaxVFt,y,,y,y,,ydt1n1n01mS.T.gt,y,,yc,,gt,y,,yc1n11nm求解方法（拉格朗日乘子法）：构造一个拉格朗日被积函数：1mLFλtcgλtc

5、g11mm与静态最优化拉格朗日函数区别：1）静态问题中，拉格朗日乘子被加入原始目标函数，变分法是加入被积函数；2）拉格朗日乘子不是常数，而是时间t的函数。第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束把原问题TMaxVFdt01mS.T.gt,y,,yc,,gt,y,,yc1n11nmT变换为：MaxLdt01m其中：LFλtcgλtcg11mm只要原问题的所有约束条件被满足，F的值就等于L的值泛函的自由极值将对应于泛函V的约束极值第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类

6、型（1）等式约束把拉格朗日乘子处理为附加状态变量（保证约束条件成立）此问题的最优解满足欧拉—拉格朗日方程：dLL0对于所有的t0,T（j1,,n）yjyjdtdLL0对于所有的t0,T（i1,,m）iidtd由于Li0，欧拉方程LiLi0可简化为：dtiLcg0对于所有的t0,Tλii（与给定约束条件相吻合）第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束例子：T221/2MinV1yzdt0S.T.t,y,z0y0y,yTy,z0

7、z,zTz0T0T两个状态变量和一个等式约束条件第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束构造拉格朗日被积函数：221/2LFt01yztt,y,z求：221/2LytyLyy1yz221/2LztzLzz1yzLt,y,z0L0第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束欧拉—拉格朗日方程条件：ddLL0LL0对于所有的t0,TyyzzdtdtdLL0

8、对于所有的t0,Tdt得：d221/2ty1yz0ydtd