孙训方版材料力学II第三章能量法.pdf

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1、材料力学II第三章能量法主讲：韩玉林东南大学工程力学系§3.1概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。物体在外力作用下发生变形，物体的应变V在ε数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功W，即V=Wε§3.2杆件应变能•余能一、轴向拉伸和压缩（复习）11PlVW==⋅PlΔ=Pε22EAP22PlFlN==2EA2EAP当F=F(x)或截面变化NNA=A(x)时，可取微段：Fx2()ΔlΔlNVx=dε∫2()EAxl§3.2杆件应变能•余能应变能的一般表达式外力与位

2、移关系是非线性时（可以是材料非线性引起的，也可以是几何非线性引起的）PP1lΔΔoΔ1P例如拉杆的材料是非线性弹性体时，当外力由0逐渐增大到P1时，杆端位移就由0逐渐增到r，显然P与r的关系也是非111线性的。PP1lPΔΔodΔΔ1PΔ1外力作功为WP=∫⋅dΔ0Δ1VW==⋅PdΔε∫0plΔpP从拉杆中取出一个各边为单位长的单元体，作用在单元体上，下两表面的力为p=σ×1×1=σ其伸长量rl=ε×1=εσPσ1lΔσεPdεε1该单元体上外力作功为p=σwdε1=∫σ⋅εrl=ε0σPσ1lΔσεPdεε1单位体积的

3、应变能即比能为wdε1ευσ==⋅ε∫0若取单元体的边长为dx、dy、dz，则该单元体的应变能为dV=vdxdydzεε令dxdydz=dV则整个拉杆内的应变能为Vd==VdυVεε∫∫ε而外力P做功为：1Δ1WP=⋅∫dΔ(3.1)0应变能的一般表达式（适用于线性和非线性关系）：Δ1WP=⋅∫dΔ0VW=εVd==VdυVεε∫∫εε1dυ=σε⋅ε∫0线性关系条件下，杆件的应变能一、轴向拉伸和压缩（复习）11PlVW==⋅PlΔ=Pε22EA22PPlFlN==2EA2EA当F=F(x)或截面变化NNPA=A(x)时，

4、可取微段：2Fx()NVxε=∫dΔlΔl2()EAxl单向拉伸的单元体的应变能1σσVWFl==Δε2dxdx+edxσ单元体的总变形量：dl==εdxdxE211σ1σ单元体应变能：dVd==×=××=Wfddlσydzdxdxdydzε22E2E2dVdVσ单位体积应变能：v==εε=或εdVdxdydz2E2Eεv=ε2整个杆件的应变能•整个杆件的应变能V与单位体积应变能vεεVv=dVεε∫V¢若单位体积应变能v为常量，那么εVv==dVvVεε∫εV¢单位体积应变能v也称为应变能密度ε二、扭转（复习）mΔϕmΔ

5、ϕΔϕ2211mlmlTlVW==⋅mΔϕ==m=ε222GIGI2GIppp2Tx()当T=T(x)或截面变化Vx=dA=A(x)时，可取微段：ε∫2(GIx)lp等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的比能(a)y假设单元体左侧固定，'dzτ因此变形后右侧将向下d移动γdx。aτydx因为很小，所以在变形过程b中上，下两面上的外力将不作dxγdx功。只有右侧面的外力(τdydz)zγ对相应的位移γdx作了功。图3-13当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为11(a)ydW==()

6、τγτdydz()()(dxγdxdydza)22'比能为dzτddVdWdW1aε()bυτ====γτεdVdVdxdydz2ydx将τ=Gγ代如上式得b1γdx(3—19a)dxυ=τγzε2γ2G2τυγ==(319,)−bcε22G图3-13等直圆杆扭转时应变能的计算:两端受外力偶矩M作用,T=Mee2VdVdAdxG2τ==υυεε∫∫∫ευγ==VlAε22GT2()ρ22τIPlT22TlV==dAdxdAdx=()ρdA=ε∫∫lA22GG∫∫lA22GIG∫AIPP(3—21a)2MleV=(3—21b

7、)ε2GIpTlml将φ==代入上式得GIGIPPGIP2Vc=−φ(321)ε2l三、弯曲（复习）2211mlmlMl纯弯曲：VW==⋅mθ=m==ε22EI22EIEI2Mx()横力弯曲：Vx=dε∫2()EIxl结论：1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。V=Wε2、线弹性范围内且是几何线性时，若外力从0缓慢的增加到最终值：1P-----广义力则：VWP==δ其中：ε2δ-----广义位移FL拉、压：Nδ=Δ=LP=F轴力NEATL扭转：δ=ϕ=P=T扭矩EIPML弯曲：δ=θ=P=M弯矩EIz组合变形应

8、变能（线性条件下）的普遍表达式截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功时，有：222Fx()Tx()Mx()NVxxx=++dddε∫∫∫2()EAx2()GIx2()EIxlllp关于上述变形能计算的讨论：1以上计算公式仅适用于线弹性材料在