数列求和的各种方法.docx

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1、数列求和的方法教学目标1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．教学内容知识梳理1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.③常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n－1)=　　，等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3

2、)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n49项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002

3、－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2.常见的裂项公式(1)＝－；(2)＝(－)；(3)＝(－)；(4)＝；(5)＝(－)．(6)设等差数列{an}的公差为d，则＝(－)．数列求和题型考点一公式法求和1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和.492.(2013·新课标全国Ⅱ，17)已知等差数列{an}的公差不为零，

4、a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.变式训练1.(2015·四川，16)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.2.(2014·福建，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.49考点二错位相减法1.(山东)已知数列的前n项和S

5、n=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.2.(2015·天津，18)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和.变式训练1.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.49(1)令cn＝，求数列{cn}

6、的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2.(2014·四川，19)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.493.(2015·湖北，18)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10

7、＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.494．(2015·山东，18)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.5.(2015·浙江，17)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*).(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求T

8、n.496.(2015·湖南，19)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.考点三分组求和法1.(2015·福建，17)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn