第四章 根轨迹法.ppt

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1、第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹§4-1根轨迹的基本概念第四章根轨迹法!系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，形成轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。常规根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。??希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性??系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便。§4-1根轨迹的基本概念第四章根

2、轨迹法一、根轨迹的基本概念§4-1根轨迹的基本概念根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。下面结合图4-1所示的二阶系统，介绍根轨迹的基本概念。图4-1二阶系统系统开环传递函数为，它有两个极点，和。系统的闭环传递函数为，特征方程为。第四章根轨迹法在a和K1为正值的情况下，此二阶系统总是稳定的，但系统的特征方程式的根却随参量a和K1的值而变化，从而影响到系统的瞬态性能。§4-1根轨

3、迹的基本概念下面讨论a保持常数，开环增益K1改变时的情况。当时，s1和s2为互不相等的实根。而当时，和，即等于系统的两个开环极点。当时，则两根为实数且相等，即。第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念当时，两根成为共轭的复数根，其实部为，这时根轨迹与实轴垂直并相交于点。K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2所示。箭头表示K1增大方向。图4-2二阶系统的根轨迹图由图可见：1)此二阶系统的根轨迹有两条，时分别从开环极点和出发。第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念2)当K1从0向增加时，两个根s1和s

4、2沿相反的方向朝着点移动，这时s1和s2都位于负实轴上，对应于系统的过阻尼状况。3)当增益K1增加到时，两个特征根s1和s2会合于处，对应于临界阻尼状态。4)K1进一步增加到两个根s1和s2离开实轴，变为共扼复数根，其实部保持为常数，对应于欠阻尼状态，系统的阶跃响应将出现衰减振荡。K1的数值愈大，振荡频率愈高，但由于s1和s2的负实部为常数不变，系统的调节时间变化不大。第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。但是，在实际中最常用的可变参量是

5、系统的增益K1。以系统增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。上述二阶系统的特征根是直接对特征方程求解得到的，但对高阶系统的特征方程直接求解往往十分困难。为此，伊万斯提出了绘制根轨迹的基本规则，利用这些基本规则，根据开环传递函数零、极点在s平面上的分布，就能较方便地画出闭环特征根的轨迹。综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹一、绘

6、制根轨迹的相角条件和幅值条件图4-3反馈控制系统设系统方框图如图4-3所示，其特征方程为或。G(s)H(s)是复变量s的函数，根据等式两边幅值和相角应分别相等的条件，有和以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系统的特征根，就必定在根轨迹上。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹系统开环传递函数通常可以写成两种因子式式中K1——开环传递函数写成零、极点形式时的增益(又称根轨迹增益)；zj、pi——开环零、极点；K——开

7、环传递函数写成时间常数形式时的增益(又称开环增益)；τj、Ti——分子和分母中的时间常数。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹由上两式不难看出在实际的物理系统中，如不考虑开环传递函数中位于无穷远处的零、极点，则有，即开环传递函数的极点数(分母阶次)大于或等于零点数(分子阶次)。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹另外一种形式的幅值条件和相角条件或在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的K1值。

8、第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹二、绘制根轨迹的基本规则规则一根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。实际系统的参数都是实数，因而特征方程是系数为实数的代数方程。当系数连续变化时，方程的根也连续变化。所以特征方程的根轨迹是连续的。此外，由于特征根或为实数，或为共轭复数，因此根轨迹必然对称于实轴。根据幅值条件规则二当时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当时，根轨迹的m条分支趋向开环零点，另外条分支趋向无穷远处。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹规则三在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段