学案7 空间向量在立体几何中的应用.ppt

《学案7 空间向量在立体几何中的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、学案7空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将以考查用

2、向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力.1.平面的法向量直线l⊥α，取直线l的，则叫做平面α的法向量.2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l∥α.方向向量a向量au·v=0a1a2+b1b2+c1c2=03.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l⊥α.若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，则α⊥β.4.空间的角(1)若异面直线l1和l2的方向向

3、量分别为u1和u2，l1与l2所成的角为α，则cosα=.u∥v(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0u⊥va1a2+b1b2+c1c2=0

4、cos

5、(2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的夹角为α，则sinα=.(3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为v,u,则与该二面角.5.空间的距离(1)一个点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离.(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离都，且叫做l到α的距离.

6、co

7、s

8、相等或互补正射影相等(3)和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的.两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.(4)若平面α的一个为m，P是α外一点，A是α内任一点，则点P到α的距离d=.垂直公垂线段长度法向量如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点.(1)求证：FH∥平面EDB;(2)求证：AC⊥平面EDB.考点1

9、用向量证明平行、垂直问题【证明】∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向，建立如图所示的坐标系.设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明.(1)设AC与BD的交点为G，连接EG,GH,则G(0,-1,

10、0),∴GE=(0,0,1).又HF=(0,0,1),∴HF∥GE.又GE平面EDB,HF平面EDB,∴FH∥平面EBD.(2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC·GE=0,∴AC⊥GE.又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.【评析】利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形.（1）证明：直线BC∥EF；（2）求棱

11、锥F—OBED的体积.【解析】【分析】根据条件建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明、求解.考点2用向量方法求线面角如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明：CM⊥SN;(2)求SN与平面CMN所成角的大小.【解析】(1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0,）,N（,0,0）,S（1,,0）.所以

12、CM=（1,-1,）,SN=（-,-,0）.因为CM·SN=-++0=0,所以CM⊥SN.(2)NC=（-,1,0）,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，a·5CM=0a·NC=0,