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1、一 平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.名师点拨对平行线等分线段定理的理解(1)符号表示:已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和A',B',C',如果AB=BC,那么A'B'=B'C'.(2)图形表示:在定理中,直线m,n可以平行,也可以相交,且它们的交点可以在平行直线之外,也可以在平行直线之内,还可以在其中的某条直线上,因此图形可有以下几种情况.(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(
2、如图)【做一做1】如图,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直线CD分别与a,b,c交于点C,E,D.若AE=EB,则()A.AE=CEB.BE=DEC.CE=DED.CE>DE解析:由平行线等分线段定理可直接得到答案.答案:C2.推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.名师点拨对推论1的理解(1)符号表示:在△ABC中,D为AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,则点E平分AC.(2)图形表示:(3)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.3.推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平
3、分另一腰.名师点拨对推论2的理解(1)符号表示:在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,过点E作EF∥BC,交CD于点F,则点F平分CD.(2)图形表示:(3)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.【做一做2】如图,已知AD∥EF∥BC,E是AB的中点,则DG=,H是的中点,F是的中点.解析:由平行线等分线段定理、推论1和2及AE=EB可得答案,故填BG或BD,AC,CD.答案:BG或BDACCD思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)如果一组直线在两条直线上截得的线段相等,那么这组直线一定平
4、行.()(2)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.()(3)三角形的三条中位线长度的和等于该三角形周长的一半.()(4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×探究一探究二探究三当堂检测作已知线段的等分点【例1】已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明.分析:根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取定的长度顺次截取6条相等线段,分别设为AA1,A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6,连接端点A6与点B,过其他端点作BA6的平行线,分别交AB于C,
5、D,E,F,G,则线段AB就被这些平行线分成六等份了.探究一探究二探究三当堂检测解:(1)任作射线AM(与AB不在同一直线上);(2)在射线AM上顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6;(3)连接A6B,分别过点A1,A2,A3,A4,A5作A6B的平行线A1C,A2D,A3E,A4F,A5G,分别交AB于点C,D,E,F,G,则C,D,E,F,G就是所求作的线段AB的六等分点,如图.证明如下:因为A1C∥A2D∥A3E∥A4F∥A5G∥A6B,又AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6,所以由平行线等分线段定理可得AC=C
6、D=DE=EF=FG=GB,即C,D,E,F,G就是线段AB的六等分点.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤1.作射线AC(与AB不共线);2.在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;3.连接DnB;4.分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1已知线段AB,在线段AB上求作一点P,使AP=AB.解:如图,作法步骤如下:(1)过点
7、A任作射线AM(与AB不共线);(2)在AM上以任意长度顺次截取AE=EF=FG;(3)连接GB,过E,F分别作EP∥GB,FQ∥GB,分别交AB于点P,Q,则点P为所求的点.探究一探究二探究三当堂检测证明线段相等【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点(BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.分析:过点D作DG∥AE交BC于G,利用平行线等分线段定理证明.证明:过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD,DG∥AE,所以BG=GE.又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC.在△CDG中,因为GE=CE,
