一平行线等分线段定理 (4).ppt

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1、一　平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.提示BGACDC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段_____，那么在其他直线上截得的线段也______符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，

2、B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则_________图形语言作用证明同一直线上的线段相等相等相等A′B′＝B′C′2.推论1文字语言经过三角形一边的中点与另一边______的直线必平分第三边符号语言在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则点E_____AC图形语言作用证明线段相等，求线段的长度平行平分3.推论2文字语言经过梯形一腰的中点且与底边____的直线必平分另一腰符号语言在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，过E作EF∥BC，交CD于F，则F_____CD图形语言作用证明线段相等，求线段的长度

3、平行平分要点一　平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA

4、1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3B.6C.9D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案B要点二　平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝B

5、C，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三　平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明

6、(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)

7、过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.解析由平行线等分线段定理知CE＝ED.答案C答案C3.下列结论正确的是________.(1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(3)如图(3)所示，若l1∥l

8、2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.解析由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.答案(1)，(2)，(3)