§5.2 拉普拉斯变换性质.ppt

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1、§5.2拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换时移特性复频移特性时域微分时域积分卷积定理s域微分s域积分初值定理终值定理一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例1f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0例2f(t)=sin(ωt)←→ω/(s2+ω2)f(t)=cos(ωt)←→s/(s2+ω2)二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→证明：注意：收敛域的变化三、时

2、移特性若f(t)<----->F(s),Re[s]>0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2

3、F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F(s)=?四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)注意：收敛域的变化五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

4、0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)推广：证明：应用及意义：将微分变为乘法举例若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:六、时域积分特性（积分定理）证明：①②①②例1:t2(t)<---->?引申：例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求导得f’(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→Fn(s)则f(t)←→Fn(s)/sn七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←

5、→F1(s),Re[s]>1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→例2：例3：九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则终值定理

6、若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，则举例例1：例2：