无穷小无穷大.ppt

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1、第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第二节无穷小与无穷大为一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数例如:函数为时的无穷小;函数时的无穷小;为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.2：无穷小必须指明x的趋向；当时就不是无穷小;为函数时的无穷小;一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.注意:3:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为显然C只能

2、是0!3:无穷小不是很小的数,除0外,所有的无穷小都是变量;根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有限个（相同类型的）无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。利用极限的四则运算得到两个无穷小的商仍为无穷小量吗？？根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有限个（相同类型的）无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。利用极限的四则运算得到无限个无穷小的和,积仍为无穷小量吗？？根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有

3、限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质2：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。略证：其中(x)为时的无穷小量.定理1.2(无穷小与函数极限的关系)证:即为无穷小量对自变量的其它变化过程类似可证.附注：具有极限的函数可表示为极限与无穷小量的和反之,如果一个函数可表示为常数和无穷小量之和,则这个常数就是这个函数的极限;两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.为了比较两个无穷小量趋于零的速度的快慢.我们引入了阶

4、的概念；2．无穷小量的阶两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍定义.若则称是比高阶的无穷小,如：故有设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作若例如,～若或则称是的等价无穷小,记作时当利用等价无穷小量来计算极限二、无穷大定义1.8.时为无穷大,记作无穷大量是一类没有极限的变量；三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论

5、.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:解商的法则不能用例4内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系第五节几点注意:（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.