无穷小与无穷大.ppt

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1、练习题一、无穷小二、无穷大§1.5无穷小与无穷大上页下页铃结束返回首页一、无穷小如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小无穷小的定义下页讨论很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示无穷小是这样的函数在xx0(或x)的过程中极限为零很小很小的数作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身一、无穷小例1下页如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小无穷小的定义在自变量的同一变化过程x

2、x0(或x)中函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)Aa其中是无穷小定理1(无穷小与函数极限的关系)证明：说明:二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值

3、f(x)

4、无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”.无穷大的定义下页讨论无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示M0d0当0

5、xx0

6、d时有

7、f(x)

8、

9、M下页二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值

10、f(x)

11、无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为无穷大的定义正无穷大与负无穷大下页二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值

12、f(x)

13、无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为无穷大的定义铅直渐近线1的铅直渐近线下页例2证当0

14、x1

15、时有铅直渐近线定理2(无穷大与无穷小之间的关系)结束在自变量的同一变化过程中如果f(x)为无穷大证明定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质举例:当x0

16、时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小下页用极限运算法则例、求解又因为由夹逼定理得与教材P55页是非T4比较，可得什么结论？定理2有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的性质用极限运算法则定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小用夹逼性定理证明观察与比较两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在x0的过程中x2比3x趋于零的速度快些反过来3x比x2趋于零的速度慢些而sinx与x趋于零的速度相仿上页下页铃结束返回首页无穷小的比较无穷小的阶设a及b为

17、同一个自变量的变化过程中的无穷小下页阶是比较两个无穷小趋于零速度快慢的一个概念阶的比较举例所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2=o(x)(x0)所以当x3时x2-9与x-3是同阶无穷小例2例3例1下页所以当x0时1-cosx是关于x的二阶无穷小所以当x0时sinx与x是等价无穷小即sinx~x(x0)例4例5下页阶的比较举例定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)下页关于等价无穷小的定理必要性:证明所以b–a=o(a)因为设a~b只需证b–a=o(a)充分性:设b=a+o(a)则因此

18、a~b所以当x0时有sinx=x+o(x)tanx=xo(x)例6下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理定理2证明求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计算简化定理2的意义:下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理定理2解当x0时tan2x~2xsin5x~5x所以解当x0时sinx~x例7例8

19、结束特别注意的是：分式中的分子或分母为代数和形式时，不能用无穷小代换。无穷大的阶作业：P37习题1—52、（3）（4）（5）（6）