建 模 案 例 选 讲【水流量问题】.ppt

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1、建模案例选讲:水塔水流量估计问题计算机学院崔志明某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔水流量估计问题水塔水流量估计问题水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水

2、塔流出的水流量，及一天的总用水量．水塔水流量估计问题流量估计的解题思路拟合水位~时间函数确定流量~时间函数估计一天总用水量测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）．拟合水位~时间函数对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数．为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3~6．由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合．对于第1、2时段只需将水位

3、函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内．确定流量~时间函数总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。一天总用水量的估计算法设计与编程1、拟合第1、2时段的水位，并导出流量2、拟合供水时段的流量3、估计一天总用水量4、流量及总用水量的检验设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各时刻的流量可如下得：1）c1=polyfit（t（1：1

4、0），h（1：10），3）；%用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数2）a1=polyder（c1）；%a1输出多项式（系数为c1）导数的系数3）tp1=0：0.1：9；x1=-polyval（a1，tp1）；%x1输出多项式（系数为a1）在tp1点的函数值（取负后边为正值），即tp1时刻的流量MATLAB(llgj1)4）流量函数为：1、拟合第1时段的水位，并导出流量设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第2时段各时刻的流量可如下得：1）c2=polyfit(t(10.9:21),h(10

5、.9:21),3)；%用3次多项式拟合第2时段水位，c2输出3次多项式的系数2）a2=polyder(c2)；%a2输出多项式（系数为c2）导数的系数3）tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2输出多项式（系数为a2）在tp2点的函数值（取负后边为正值），即tp2时刻的流量MATLAB(llgj2)4）流量函数为：2、拟合第2时段的水位，并导出流量在第1供水时段（t=9~11）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量．为使流量函数在t=9和t=1

6、1连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：xx1=-polyval（a1，[89]）；%取第1时段在t=8,9的流量xx2=-polyval（a2，[1112]）；%取第2时段在t=11,12的流量xx12=[xx1xx2]；c12=polyfit（[891112]，xx12，3）；%拟合3次多项式tp12=9：0.1：11；x12=polyval（c12，tp12）；%x12输出第1供水时段各时刻的流量MATLAB(llgj3)拟合的流量函数为：3、拟合供水时段的流量在第2供水时段之前取t=20，

7、20.8两点的流水量，在该时刻之后（第3时段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下：dt3=diff（t(22：24)）；%最后3个时刻的两两之差dh3=diff（h(22：24)）；%最后3个水位的两两之差dht3=-dh3./dt3；%t(22)和t(23)的流量t3=[2020.8t(22)t(23)]；xx3=[-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)]；%取t3各时刻的流量c3=polyfit（t3，xx3，3）；%拟合3次多项式t3=20.8：0.1：24；x3=pol

8、yval（c3，tp3）；%x3输出第2供水时段（外推至t=24）各时刻的流量MATLAB(llgj4)拟合的流量函数为：第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量．虽然诸时段的流量已表为多项式函数，