10——第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型.ppt

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1、12021/8/25布莱克-斯科尔斯期权定价模型22021/8/25期权定价采用相对定价法利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。6.1证券价格的变化过程32021/8/25弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说,该假说认为:投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能

2、完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程42021/8/25效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强

3、式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。52021/8/25弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性”，其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据不能预测未来B-S模型假设标的资产的价格

4、服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。62021/8/25二、布朗运动根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，该特性可以采用维纳过程（布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。（一）、标准布朗运动对于随机变量w是标准布朗运动，必须具有两个条件：在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段Δt满足72021/8/25（6.1）2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（6.2）有效市场82021/8/25满足上述两个条件的随机过程，称为标

5、准布朗运动，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足92021/8/25证明：102021/8/25在连续时间下Δt→0，由（6.1）和（6.2）得到（6.3）（6.4）所以，概率分布的性质以上得到的随机过程wt，称为维纳过程。112021/8/25（二）普通布朗运动先引入两个概念：漂移率（DriftRate）是指，单位时间内变量z均值的变化值。方差率（VarianceRate）是指，单位时间的方差。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a

6、,方差率的期望值为b2，就可得到变量xt的普通布朗运动：（6.4）其中，a和b均为常数，dw遵循标准布朗运动。122021/8/25从式（6.1）和（6.4）可知，在短时间后，x值的变化值为：因此，Δxt也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。132021/8/25一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即

7、为ITO过程三、伊藤过程142021/8/25B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（6.6）证券的预期回报与其价格无关。证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率）证券收益率单位时间的标准差，简称波动率四、证券价格的变化过程152021/8/25伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t

8、)的变动过程可以表示为（6.7）五、伊藤引理162021/8/25证明：将（6.7）离散化由（7.1）知利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为（6.8）172021/8/25在连续时间下，即因此，（6.8）可以改写为（6.9）从而182021/8/25即Δx2不呈现随机波动！（6.10）192021/8/25由（6.10）可得（6.11）由（6.11）得到（6.12）202021/8/25由于Δx2不呈