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1、随机过程主讲教师段禅伦2008年秋季学期硕士研究生学位课程《应用数学基础》(演示文稿)(Randomprocess)序言:天道酬勤—求真务实,追求卓越接天莲叶无穷碧，亭亭玉立荷花红。扎实自信、开拓自尊，独立自主、自强不息。人生大计，学业为本；国家兴旺，学子有责。基础不固，木凋树枯；基础坚牢，大厦凌霄。博览群书，寻真取识，学以致用，唯求创新。形而上（深入思考）谓之道，形而下（知识基础）谓之器（周易·系辞）。提其要，钩其玄（韩愈《劝学解》）；悠然心会，妙处难与君说（张孝祥，南宋）。昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路（晏殊）。众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处(辛弃疾)。衣带渐
2、宽终不悔,为伊消得人憔悴（柳咏）。有教无类上善若水，厚德载物境界杨叔子院士语课程内容硕士研究生课程应用数学基础主要讨论随机过程,包括:随机过程的基本概念;泊松过程;马尔可夫过程;平稳随机过程.为了教学的方便,对概率论的一些有关知识,也作了必要的回顾.在马尔可夫过程中介绍:马尔可夫链和连续时间的马尔可夫链;在平稳随机过程中介绍:平稳随机过程,平稳过程的谱分析以及时间序列分析.主参考书目:陆大铨编著,随机过程及其应用,清华版,1986;S.M.Ross著,何声武等译,随机过程,统计版,1997;刘次华编著,随机过程,华中理工版,2001.第一章预备知识1.1概率空间随机试验试验的结果事先
3、不能准确预言,但具有特性(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的结果不止一个,但预先知道试验的所有可能的结果;(3)每次试验前不能确定哪个结果会出现.样本空间由随机试验所有可能结果组成的集合(Ω).样本点或基本事件Ω中的元素e.事件Ω的子集A.Ω称必然事件;空集φ称不可能事件.σ-代数F,F上的概率,独立事件族G:定义1.1设Ω是一个集合,F是Ω的某些子集组成的集合族.如果概率空间(1)Ω∈F;(2)若A∈F,则A=ΩA∈F;(3)若An∈F,n=1,2,…,则∈F,那么F称为σ-代数(Borel域).(Ω,F)称为可测空间,F中的元素称为事件.由定义1.1且有:(4)φ
4、∈F;(5)若A,B∈F,则AB∈F;(6)若Ai∈F,i=1,2,…,则,,∈F.定义1.2设(Ω,F)是可测空间,P(·)是定义在F上的实值函数.若(1)任意A∈F,0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1;概率空间(3)对两两互不相容事件A1,A2,…(当i≠j时,A1∩A2=φ),有P()=P(Ai),则称P是(Ω,F)上的概率.(Ω,F,P)称为概率空间,P(A)为事件A的概率.由定义1.2且有:(4)P(φ)=0;(5)若A,B∈F,AB,则P(BA)=P(B)-P(A),即概率具有单调性;(6)设An∈F,n=1,2,…则P(An)=定义1.3设(Ω,F,P)是概率空间
5、,GF,若对于任意的A1,A2,…,An∈G,n=1,2,…有P()=,则称G为独立事件族.P(),A1A2…P(),A1A2…随机变量及其分布1.2随机变量及其分布随机变量是概率论的主要研究对象,随机变量的统计规律用分布函数来描述.定义1.4设(Ω,F,P)是概率空间.X=X(e)是定义在Ω上的实函数,若对任意实数x,{e:X(e)≤x}∈F,则称X(e)是F上的随机变量,简记为X.称F(x)=P(e:X(e)≤x),-∞＜x＜+∞为随机变量X的分布函数.分布函数F(x)具有性质:(1)F(x)是非降函数,即当x1＜x2时,F(x1)≤F(x2);(2)F(-∞)=F(x)=0,F
6、(+∞)=F(x)=1;(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x).随机变量的分布函数重要事实:定义在R=(-∞,+∞)上的实值函数F(x),如果具有上述三个性质,则必存在一个概率空间(Ω,F,P)及该概率空间上的随机变量X,X的分布函数是F(x).常用的随机变量有两种类型:离散型随机变量,连续型随机变量.离散型随机变量X的概率分布用分布列描述:pk=P(X=xk),k=1,2,…;其分布函数F(x)=pk.连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)描述,其分布函数F(x)=.常见随机变量的分布见下页的表:常见随机变量的分布分布分布律或概率密度期望方差特征函数0-1分布二项分布
7、泊松分布几何分布均匀分布正态分布指数分布P(X=1)=p,P(X=0)=q,0＜p＜1,p+q=1.ppqq+peitP(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n;0＜p＜1,p+q=1.npnpq(q+peit)nP(X=k)=,λ＞0,k=0,1,…λλP(X=k)=pqk-1,0＜p＜1,p+q=1,k=1,2,…1/(b-a),a＜x＜b0,其它f(x)=f(x)=,-∞＜x＜+∞μσ2f(x)=,λ＞0λe-λx,x≥00,x＜0n维随机变量及
