第一部分 第2章 2.3 映射的概念.ppt

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1、第2章考点一考点二考点三把握热点考向应用创新演练理解教材新知2.32.3映射的概念在某次数学测试中,高一·(16)班的60名同学都取得较好的成绩.把该班60名同学构成一个集合A,他们的成绩构成一个集合B.问题1:集合A中的每一个同学,在集合B中能找到惟一成绩与其对应吗?提示:是的.问题2:集合B中的每一个元素,在集合A中有几个元素与之对应?提示:可能一个也可能多个.问题3:从集合A到集合B中的对应是函数吗?为什么?提示:不是函数.因为函数的对应是数集到数集的对应.问题4:你能举出两个满足上述的对应,且

2、不是函数吗?提示:①数轴上的点集与实数集的对应;②某中学同学与学号的对应.映射的含义:设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A中的元素,在B中都有的元素与之对应,那么,这样的叫做集合A到集合B的映射,记作:.每一个唯一单值对应f:A→B1.映射定义中的两个集合A、B是非空的,可以是数集,也可以是点集或其他集合,A、B是有先后次序的,A到B的映射与B到A的映射一般是不同的,即f具有方向性.2.在A到B的映射中,A中每一个元素都可以在B中找到惟一一个元素和它对应,但A中的不同元素允许对应B中的

3、相同元素.3.映射是特殊的对应,它只允许“多对一”“一对一”,但不允许“一对多”.函数又是一种特殊的映射,它是建立在两个数集上的映射.[例1]下图中各图表示的对应构成映射的有_______.[思路点拨]利用映射的概念进行判断.[精解详析](1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有惟一的元素与之对应.对于(4)(5),A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应,所以不是A到B的映射;对于(6),A中的元素a3,a4在B中没有元素与之对应,所以不是A到B

4、的映射.[答案](1)(2)(3)[一点通]判断一个对应是A到B的映射,应从两个角度去分析:①“对于集合A中的每一个元素”;②在B中“有惟一的元素与之对应”,这两个条件缺一不可;若判断不是A到B的映射,只要举出一个反例,即说明集合A中的某一元素,在B中无对应元素或有多个对应元素即可.1.给出下列四个对应,是映射的是________.解析:①不是映射,因为元素c没有对应元素;④不是映射,因为元素a有两个对应元素.只有②③符合映射的定义.答案:②③解:(1)∵1∈A,在f作用下,1→

5、1-1

6、=0∉B,∴

7、不是映射,故也不是函数.(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应,而当x<0时与B中的元素2对应,因此能构成映射.又A,B均为数集,因此也能构成函数.(3)由于平面内的三角形都有其外接圆,且外接圆惟一,因此能构成从A到B的映射,但由于A,B都不是数集,因此不能构成函数.[例2]设集合P=Q={(x,y)

8、x,y∈R},f:P→Q是从集合P到集合Q的映射f:(x,y)→(x+y,xy).求(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素;(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素.[思路点拨]

9、(1)把(3,2)代入到对应法则就可求出对应元素;(2)可以采用方程(组)的思想求解.[一点通]求对应元素的一般思路是:若已知A中的元素a,求B中与之对应的元素b,这时只要将元素a代入对应法则f求解即可;若已知B中的元素b,求A中与之对应的元素a,这时需构造方程(组)进行求解即可,这时需注意解得的结果可能有多个.3.在映射f:A→B中,A=R,B=R,且f:x→

10、2x+3

11、,则与B中的元素5对应的A中的元素为________.解析:由

12、2x+3

13、=5得2x+3=5或2x+3=-5.∴x=1或x=-4.

14、答案:1或-44.已知映射:f:A→B,A=B={(x,y)

15、x,y∈R},f:A中的元素(x,y)对应B中的元素为(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(1,2)在B中对应的元素;(2)B中元素(1,2)与A中哪个元素对应?[例3]已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.[思路点拨]需分“三对一”“三对二”和“三对三”讨论,用图示表示.[精解详析](1)当A中元素都对应一个元素时,由于f(a)+f(b)=f(

16、c),所以a,b,c必须都对应元素0.(如图)共有1个映射.(2)当A中元素对应两个元素时,根据f(a)+f(b)=f(c),有下面4种情况(3)当A中元素对应三个元素时,由于f(a)+f(b)=f(c),有下面两种情况.因此,满足题设条件的映射有7个.[一点通]对于两个集合间映射个数的问题,常见的题目有两类,一类是给定两个集合A,B,问由A→B可建立的映射的个数.这类问题与A,B中元素的个数有关系.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则从A→B共

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