浙教版八年级上第1章 三角形的初步知识小专题：构造全等三角形的方法技巧(含答案)

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1、小专题(一)　构造全等三角形的方法技巧　　　　　　　　　　　　　　　　类型1　连结线段构造全等三角形【例1】　如图，已知AB＝AD，BC＝CD，求证：∠B＝∠D、证明：连结AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)、∴∠B＝∠D、【方法归纳】　通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等、1、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A＝∠C、证明：连结BD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB、∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD、又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(ASA)、∴∠A＝∠C、2、如

2、图，在△ABC中，AB＝AC，点M为BC中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E、求证：MD＝ME、证明：连结AM、在△ABM和△ACM中，∴△ABM≌△ACM(SSS)、∴∠BAM＝∠CAM、∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴MD＝ME、类型2　利用“截长补短”构造全等三角形【例2】　如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB、求证：CD＝AD＋BC、证明：在CD上截取DF＝DA，连结FE、在△ADE和△FDE中，∴△ADE≌△FDE、∴∠A＝∠DFE、又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°、∵∠DFE＋∠EFC＝180°、∴∠B＝∠

3、EFC、在△EFC和△EBC中，∴△EFC≌△EBC、∴FC＝BC、∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC、【方法归纳】　遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决、3、如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明、解：BC＝BE＋CD、证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF、∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO、又∵BO＝BO，∴△EBO≌△F

4、BO、∴∠EOB＝∠FOB、∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°、∴∠EOB＝∠DOC＝60°、∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°、∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO、又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO、∴CD＝CF、∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD、4、(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°、点E，F分别是BC，CD上的点、且∠EAF＝60°、探究图中

5、线段BE，EF，FD之间的数量关系、(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG、先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°、E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由、解：EF＝BE＋DF仍然成立、证明：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG、在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)、∴

6、AE＝AG，∠BAE＝∠DAG、∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF、∴∠EAF＝∠GAF、在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF(SAS)、∴EF＝FG、∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF、类型3　利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】　如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC>AB，求证：AB＋AC>2AD>AC－AB、证明：延长AD至E，使AD＝DE，并连结CE，∵D是BC上的中点，∴CD＝BD、又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△EDC(SAS)、

7、∴AB＝CE、∵AC＋CE>2AD>AC－CE，∴AB＋AC>2AD>AC－AB、【方法归纳】　当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形、5、已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD、求证：AE＝AC、证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF、∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE、又∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE、∴∠B＝∠BDF，AB＝DF、∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF、∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝

8、∠ADC、∵AD是△AB