2018版高中数学第2章数列2.2.1第2课时等差数列的性质学案新人教B版必修5.doc

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1、第2课时 等差数列的性质1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.(难点)[基础·初探]教材整理 等差数列的性质阅读教材P37第二自然段~P37例3及P38练习B第1,2题,完成下列问题.1.等差数列的图象等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一固定常数;当d≠0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n

2、=p+q,则am+an=ap+aq.①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=2ak.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.(3)若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{an+an+k}(k为常数,k∈N+)是公差为2d的等差数列.(4)若{an},

3、{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.(5){an}的公差为d,则d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列.1.下列说法中正确的有________.(填序号)①若{an}是等差数列,则{

4、an

5、}也是等差数列.②若{

6、an

7、}是等差数列,则{an}也是等差数列.③若{an}是等差数列,则对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2.④数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=

8、3x+5的图象的斜率相等.【解析】 ①错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.②错误.如数列-1,2,-3,4,-5,其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2成立.④正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.【答案】 ③④2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=________.【解析】 ∵数列{an}是等差数列,∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,∴

9、a14=6+9×3=33.【答案】 333.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.【解析】 因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450.所以a5=90,a2+a8=2a5=2×90=180.【答案】 1804.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.【解析】 在等差数列{an}中,由于a7+a9=a4+a12,所以a12=(a7+a9)-a4=16-1=15.【答案】 15[小组合作型]灵活设元解等差数列 已知四个数

10、成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差,用方程组求解?(2)等差数列相邻四项和为26,这四项有对称性吗?能否用对称设法求解?【自主解答】 法一:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得化简,得解得或∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得化简,得解得∴这四个数分

11、别为2,5,8,11或11,8,5,2.1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列.2.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为2d.3.当已知数列有2n+1项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.[再练一题]1.三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.【导学号:

12、18082023】【解】 (1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,则解得∴这三个数为4,3,2.等差数列的实际应用 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10

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