2020版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列（第2课时）等差数列的性质学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第2课时　等差数列的性质学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一　等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．知识点二　等差数列的性质在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2

2、p，则am＋an＝2ap.知识点三　由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．(　√　)2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　×　)3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　√

3、　)4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．(　×　)题型一　an＝am＋(n－m)d的应用例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.反思感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练1　{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，

4、则b8＝________.答案　8解析　方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.题型二　等差数列性质的应用例2　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋

5、(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.引申探究1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2

6、＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？解　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.答案　20解析　∵

7、a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.反思感悟　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练2　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解　方法一　∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，