几何重数小于等于代数重数证明.doc

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1、几何重数小于等于代数重数证明及P190.3设T是n维欧氏空间V上的一个线性变换，是T的一个特征值，0试证：的几何重数小于等于代数重数.0设，,,是线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为−A=55−−求(1)在基=−+；=−−；=+；=下的矩阵；（2）的核与值域；（3）在的核中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求在这组基下的矩阵；（4）在的值域中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求在这组基下的矩阵。−解：（1）因为，,,

2、=，,,=，−−,,所以（，,,=，,,=，,,=，,,−故在基，,,下的矩阵为−,因此，−=−−55−−−−−−−99−=8−−−（2）解：(2)设xxxx,则Aα=,故11223344A=3TT计算知r(A)2,且上述齐次线

3、性方程组的基础解系为(2,,1,0),(1,2,0,1),因而232,2112321242是ker(A的一组基,ker=L(,.显然,矩阵A的前两列线性无关,构成矩阵A的列向量组的一个极大无关组,因而=V=L,,,=L(A,其中=−++,=+−是V的一组基.(3)取ker(A的基,把它扩充成V的基,,,,12121210213基1,2,3,4到基,,,的过渡矩阵为012,1212T21

4、0010000152009100在基,,,下的矩阵为BT1AT2.121211112002200(1)取V的基,把它扩充成V的基,,,,1000基1,2,3,4到基,,,的过渡矩阵为T1200,212102201522193在基,,,下的矩阵为12。12121BTAT2222200000000