高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案无答案新人教A版必修.docx

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1、§3.2　简单的三角恒等变换学习目标　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一　半角公式思考1　我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案　结果是cosα＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.思考2　根据上述结果，试用sinα，cosα表示sin，cos，tan.答案　∵cos2＝，∴cos＝±，同理sin＝±，∴tan＝＝±.思考

2、3　利用tanα＝和二倍角公式又能得到tan与sinα，cosα怎样的关系？答案　tan＝＝＝，tan＝＝＝.梳理sin＝±，　　　cos＝±，tan＝±＝＝.知识点二　辅助角公式思考1　asinx＋bcosx化简的步骤有哪些？答案　(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角θ满足：cosθ＝，sinθ＝.一般θ为特殊角，则得到(cosθsinx＋sinθcosx)(或(sinθsinx＋cosθcosx))．(3)化简、逆用公式得asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(或asinx＋bcosx＝cos(x－θ))．思考2　在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？答案　θ所在的

3、象限由a和b的符号确定．梳理　辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋θ).1．若α≠kπ，k∈Z，则tan＝＝恒成立．(　√　)2．若函数f(x)＝A1sin(ωx＋φ1)，g(x)＝A2sin(ωx＋φ2)(其中A1>0，A2>0，ω>0)，则h(x)＝f(x)＋g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致．(　√　)3．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．(　√　)4．sinx＋cosx＝2sin.(　×　)提示　sinx＋cosx＝2＝2sin.类型一　应用半角公式求值例1　已知sinθ＝，＜θ＜3

4、π，求cos和tan.考点　利用简单的三角恒等变换化简求值题点　利用半角公式化简求值解　∵sinθ＝，且＜θ＜3π，∴cosθ＝－＝－.由cosθ＝2cos2－1，得cos2＝＝.∵＜＜，∴cos＝－＝－.tan＝＝2.反思与感悟　利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，

5、cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．跟踪训练1　已知sinθ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　)A．3B．－3C.D．－考点　利用简单的三角恒等变换化简求值题点　利用半角公式化简求值答案　B解析　∵3π<θ<，sinθ＝－，∴cosθ＝－，tan＝＝－3.类型二　三角函数式的化简例2　化简.考点　利用简单的三角恒等变换化简求值题点　利用半角公式化简求值解　＝＝＝＝1.反思与感悟　三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于

6、和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2　设α∈，化简：.考点　利用简单的三角恒等变换化简求值题点　利用半角公式化简求值解　∵α∈，∴cosα>0，cos<0，故原式＝＝＝＝＝－cos.类型三　三角函数式的证明例3　求证：＝.考点　三角恒等式的证明题点　三角恒等式的证明证明　要证原式，可以证明＝.∵左边＝＝＝＝tan2θ，右边＝＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．反思与感悟　证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一

7、或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练3　求证：－tanθ·tan2θ＝1.考点　三角恒等式的证明题点　三角恒等式的证明证明　－tanθ·tan2θ＝－＝＝＝＝＝1.类型四　利用辅助角公式研究函数性质例4　已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x