2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案苏教版.docx

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1、1.2.1　常见函数的导数学习目标核心素养1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想．(难点)2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点)3．掌握函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝logax(a>0，a≠1)的求导公式．(易混点)1.通过几个常见函数的导数，提升逻辑推理素养．2．通过对求导公式的应用，提升数学运算素养.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝exf

2、′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x思考：(1)任何函数都有导函数吗？(2)函数f(x)＝a2的导函数是f′(x)＝2a吗？[提示]　(1)不是，例如函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}没有导函数．(2)不是，因为函数f(x)＝a2是常数函数，所以其导函数为f′(x)＝0.1．下列结论不正确的是(　　)A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x，则y′＝xD　[由导数的

3、公式可知，y＝x的导数为y′＝x.]2．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　)A．　　　B．10C．10ln10D．C　[∵f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.]3．已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为________．　[f′(x)＝，∴f′(e)＝.]4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．x＋y－6＝0　[∵y′＝－，∴y′

4、x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]利用导数公式求函数的导数【例1】　求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；

5、(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[思路探究]　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与lnx”“ax与logax”“sinx与cosx”的导数区别．

6、1．下列结论，①(sinx)′＝cosx；②′＝x；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的有(　　)A．0个　　　B．1个C．2个D．3个C　[①(sinx)′＝cosx，正确；②′＝x，错误；③(log3x)′＝，错误；④(lnx)′＝，正确；所以①④正确，故选C.]利用公式求函数在某点处的导数【例2】　质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路探究]　(1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解]　(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝c

7、os＝.即质点在t＝时的速度为.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．[解]　(1)∵f′(x)＝′＝(x)′＝－x＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.导数公式的应用[探究问题]1．f(x)＝x，f(

8、x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？[提示]　∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x，∴(xα)′＝α·xα－1.2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[提示]　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得，最小距离为.【例3】　已知点P(－1,1

9、)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点