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1、第三节函数的连续性一、函数的连续性二、初等函数的连续性三、函数的间断点四、闭区间上连续函数的性质五、内容小结1一、函数的连续性1.函数的增量22.连续的定义3显然这两个定义是等价的.讨论分段函数在分界点处的连续性时,通常用定义1.4例1解5例2证由定义1知,63.单侧连续定义(定义2)定理7例3解f(x)在x=0处右连续但不左连续,84.连续函数与连续区间的定义(定义3)在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,9连续函数的运算定理例
2、如,1.基本初等函数的连续性102、反函数与复合函数的连续性定理严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,即反三角函数在其定义域内皆连续.11定理定理推论112例如,例4解13二、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★14定理基本初等函数在定义域内是连续的.★均在其定义域内连续.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.注:定义区间是指包含在定义域内的区间.15注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义,即在定义域内不连续.在0
3、点的邻域内没有定义,所以函数在0点处不连续,但注意2.初等函数定义区间内求极限的方法:代入法.16例5例4解解17三、函数的间断点181.跳跃间断点例6解192.可去间断点例720解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.21如例7中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,它们的特点是:223.第二类间断点例8解23例9解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.24狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★25在定义域R内每一
4、点处都间断,但其绝对值
5、f(x)
6、在R内处处连续.★判断下列间断点类型:26例10解27第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyx可去型oyx间断点的分类小结:281.有界性与最大值最小值定理定义:例如,四、闭区间上连续函数的性质29定理(最值定理)闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.30定理(有界性定理)闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.证312.介值定理与根的存在定理几何解释:32定义:几何解释如下:即方程
7、f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根。33例11证由根的存在定理,34例12证由根的存在定理,351.函数的连续性部分内容小结：（1）函数在一点连续必须同时满足的三个条件;（3）间断点的分类与判别;（2）区间上的连续函数的定义;第一类间断点:跳跃型,可去型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点五、内容小结362.连续函数的运算部分内容小结:(1)连续函数的和差积商的连续性.(3)复合函数的连续性.(4)初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;定义区间内求极限的又一种方法.定理3;定理4及推论1(2)反函数的连
8、续性.373.闭区间上连续函数的性质部分内容小结：四个结论：最值定理;有界性定理;介值定理;根的存在定理.注意闭区间、连续函数两条件要求同时满足。这两条件不都满足时,上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用根的存在定理;38思考题一下述命题是否正确？39思考题一解答不正确.例如，函数40思考题二41思考题二解答且42但反之不成立.例但43练习题4445练习题答案4647
