拉格朗日(Lagrange)插值.ppt

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1、§4.2拉格朗日(Lagrange)插值niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即注:这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。一次多项式插值---过两点直线。二次多项式插值---过三点抛物线。若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x

2、)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉格朗日插值基函数，满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/二.拉格朗日插值的基函数构造法n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日插值多项式，常记为Ln(x)拉格朗日插值基函数与有关，而与无关节点f是n次多项式。li

3、(x)每个li有n个根x0…xi…xn，三.插值余项设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。推广：若使得使得存在使得Rn(x)至少有个根n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(x)有n+2个不同的根x0…xnx!)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意这里是对t求导=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()

4、1(+=+nfxKxnx注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。例4.2.1:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？y0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xABC例4.2.2：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1以及x1,

5、x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外插的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插的实际误差0.00596内插通常优于外插。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……噢是吗?如果现在的插值不够精确呢?那么你也许想取更多的节点.对.那么所有的Lagrang

6、e基函数,li(x),都要重新计算.很好!我们下次讨论这个问题.当你写程序时,你会发觉Lagrange插值多项式是很容易计算的.