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1、约数与倍数例题1题一个数有8个约数．这个数最小是 ．正确答案:24详解：24有8个约数：1，2，3，4，6，8，12，24．比24小的数都没有8个约数(12，18，20各有6个约数，其余的数约数个数少于6)．例题2题边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都大于高．则长方体长与宽的和是 米．正确答案:29提示：由于长方体是用2100个边长为1米的正方体堆成的，就是说，这个长方体的体积应是2100立方米，但长方体的体积＝长×宽×高，现在知道高＝10米，故长×宽＝210米，又，长、宽都大于高，所以本题就是找出210的两个都大于10的约数，使
2、它们的积为210．详解：2100÷10＝210，210＝2×3×5×7＝(2×7)×(3×5)＝14×15．由于14与15都是210的大于10的约数，且其积＝210，又只有这一组数据满足题目的要求．∴长方体的长与宽分别为15与14，其和为29．例题3题数360的约数有 个．这些约数的和是 ．正确答案:24；1170详解：360分解质因数：；360的约数可以且只能是，(其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24．我们先只改动关于质因数3的约
3、数，可以是1，3，，它们的和为，所以所有360约数的和为；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是它们的和为，所以所有360约数的和为；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1＋5)，所以所有360的约数的和为8．于是，我们计算出值：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为，所以它的约数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝4×3×2＝24个．
4、(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：，所以21000所有约数的和为．例题4题从360到630的自然数中有奇数个约数的数有 个．正确答案:7详解：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为，所以它的约数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为
5、完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数．18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625，共7个.例题5题1112111的约数共有 个．正确答案:24详解：一般的，一个自然数N可能惟一地表示成一些质因数的乘积：其中是不相同的质数，，那么N的约数的个数公式：∴81112111的约数的个数是：(
6、1＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝24∴1112111有24个约数例题6题在正好有60个约数的自然数中，1万以内最大的数是 ．正确答案:9360详解：因为，所以所求数分解质因数后，任何质因数的幂小于14．将60分解为约数小于14的乘积，60＝5×12＝6×10＝2×3×10＝2×5×6＝3×4×5＝2×2×3×5．根据自然数的约数个数的公式，恰有60个约数的小于10000的合数应具有下列形式之一：其中a、b、c、d均为质数．因为都大于10000，所以所求数只能是的形式，所求数是9360．例题7题有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,
7、丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么 分钟之后,3人又可以相聚。正确答案:30详解：设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．例题8题要使六位数能被36整除，而
