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时间:2020-01-22
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1、知识要点:1.考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题.2.考查椭圆的标准方程及其几何性质,利用椭圆的几何性质求离心率等问题.椭 圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.圆的定义AMr符合上述定义集合可表示为椭圆定义的引入F1F2平面内与两个定点 的距离和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.二.讲授新课:F1F2M1.椭圆定义:两定点距离
2、F1F2
3、——焦距(一般用2c表示)绳长
4、MF1
5、+
6、MF2
7、=2aF1、F2——焦点注:一、椭圆的定义:M几点说明:1、F1、F2是两个不同的定
8、点2、M是椭圆上任意一点,且
9、MF1
10、+
11、MF2
12、=常数3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c(?)4、如果2a=2c,则M点的轨迹是线段F1F25、如果2a<2c,则M点的轨迹不存在考点梳理1.椭圆的定义(1)在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于
13、F1F2
14、)的点的轨迹叫做.这两定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的.(2)集合P={M
15、
16、MF1
17、+
18、MF2
19、=2a},
20、F1F2
21、=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:①若,则集合P为椭圆;②若,则集合P为线段;③若,则集合P为空集.椭圆焦点焦距a>ca=ca<c
22、总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距式焦点在y轴:焦点在x轴:3.椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx图形方程焦点F(±c,0)F(0,±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2
23、MF1
24、+
25、MF2
26、=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.焦点位置的判断方法2.椭圆的标准方程和几何性质性质顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b
27、)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为;短轴B1B2的长为___焦距
28、F1F2
29、=___离心率e=∈______a,b,c的关系c2=_________2a2b2c(0,1)a2-b2两种方法求椭圆方程的两种方法:(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程;(2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.答案D答案B解析根据椭圆定义,知△AF1B的周长为4a=1
30、6,故所求的第三边的长度为16-10=6.答案6[审题视点]利用定义法或待定系数法求解.【训练2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,则椭圆的方程为________.求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.答案(1)B(2)C答案B3.(2012·上海)对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆
31、”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B答案C用待定系数法求椭圆标准方程时,若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).答案3椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求
32、PF1
33、·
34、PF2
35、;通过整体代入可求其面积等.热点突破18——椭圆离心率的求解问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析,以椭圆
36、的标准方程及几何性质为主要考查对象,尤其是考查椭圆的离心率问题是重中之重,常以选择题和填空题的形式出现,难度中等.[反思]在求解有关椭圆离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.答案C
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