放缩法证明数列不等式中的运应用.doc

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1、1．（2011年广东理科第20题）设，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．2．（2012年广东理科第19题）设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有3．（2013年广东理科第19题）设数列的前项和为，已知，，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到

2、证明的目的．高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现．放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能．本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用．13证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求

3、解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)13(12)(13)(14)(15)(16)(17)二、基本技巧1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。2.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。3.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采

4、用数列中裂项求和等方法来解题。4.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。5.固定一部分项，放缩另外的项；三、放缩法综合问题（一）、先求和后放缩（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）1．放缩后成等差数列，再求和2．放缩后成等比数列，再求和3．放缩后为差比数列，再求和4．放缩后为裂项相消，再求和13一、放缩后转化为等比数列．[例1]满足：．（1）用数学归纳法证明：；（2），求证：．点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法．这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎

5、是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加[例2]数列，，其前项和为，求证：．点评：本题是放缩后迭加．放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法．值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神．[例3]（2013广东理19）（本小题满分14分）13设数列的前项和为．已知,,．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明：对一切正整数,有．[来三、放缩后迭乘例4．.a)求b)令，求数列的通项公式c)已知，求证：解：（1）（2）略13由（2）得点评：裂项迭加，是

6、项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求项和时用迭加，求项乘时用迭乘。点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项之间的关系，通项公式，不等式的证明．由数列的前n项和求数列的通项公式时，要注意n=1时的验证，有关数列不等式的证明一般是先求和在用放缩法，求和时注意裂项法、错位相减法的应用．1.(2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<

7、.[解析]　(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1，∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7.由得∴a1＝1.(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，①13∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.②①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，∴an＋1＝3an＋2n.两边同除以2n＋1得＝·＋，∴＋1＝(＋1)．又由(1)知＋1＝(＋1)，∴数列{＋1}是以为首项，为公比的等比数列，∴＋1＝·()n－1＝()n，∴an

8、＝3n－2n，即数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.(3)证明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n＝C·1n·20＋C·1n－1·21＋C·1n－2·22