应用图形的旋转变换巧解.doc

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1、应用图形的旋转变换巧解“难题”（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。⇒图（1-1-a）图（1-1-b）例1.如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是________.⇒图（1-1）图（1-2）简解：在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。则ΔBA≌ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ∴APB=AP+PB=+=150

2、0（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。⇒图（2-1-a）图（2-1-b）例2.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。4⇒图（2-1）图（2-2）简解：作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。易证ΔEAP为等

3、腰直角三角形，又∵AP=1∴PE=同理，PF=3∵EDA=PBA，FDC=PBC又∵PBA+PBC=900∴EDF=EDA+FDC+ADC=900+900=1800∴点E、D、F在一条直线上。∴EF=ED+DF=2+2=4，在ΔEPF中，EF=4，EP=，FP=3由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ∴S正方形ABCD=SRtΔEPF+SRtΔEPA+SRtΔPFC=3++=8例3.如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300,DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)图（3-1）简解：延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔA

4、B≌RtΔADF（SAS）。∴AE=300+150=450，FAE=900-300-150=450易证ΔAE≌ΔFAE(SAS)∴EA=FEA=600，∴FEC=600,∵在RtΔABE中,AB=，BAE=300∴BE=1,CE=-1,FE=2CE==2(-1),∴E=EF=2(-1)4所以,SΔAEF=S△AF’E=AB·E=ÎÎ2(-1)=3-（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔCP为等腰直角三角形。⇒图（3-1-a）图（3-1-b）例4．

5、如图（4-1），在ΔABC中，ACB=900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。⇒图（4-1）图（4-2）简解：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=900∴BPC=CP+PB=450+=1350例5.如图（5-1），在ΔABC中，BAC=900，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把ΔABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为______

6、____。图（5-1）例6．如图（6-1），五边形ABCDE中，ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）4⇒图（6-1）图（6-2）简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE≌ΔABC（SAS）∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD=D∴ΔCAD≌ΔAD（SSS）∴SABCDE=2S△C’DA=2（11）=14