导数讲义(学生版).doc

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1、导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’

2、。f’(x)==。例、若，则等于（）A．B．C．D．以上都不是变式训练：设函数在点处可导，试求下列各极限的值．1．；2．3．若，则=？二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f

3、（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。三、导数的运算1．基本函数的导数公式:①（C为常数）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）2、导数的四则运算法则：练习：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。（5）；（6）。3、复合函数求导：如果函数在点x处可导，函数f(u)在点u=

4、处可导，则复合函数y=f(u)=f[]在点x处也可导，并且(f[])ˊ=例、求下列函数的导数（1）y=cosx（2）y=ln(x+)练习：求下列函数的导数（1）y=（2）y=sin（3x+）常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．例2、曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　)A．2eB．eC．2D．1　例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x

5、，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线在点处的切线方程（二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线的平行的抛物线的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点且与曲线相切的直线方程．（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线上的点的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过

6、点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．3、与直线＝0平行,且与曲线y＝相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.变式训练：1.函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数，．当时，讨论函数的单调性.例2、设函数f(x)=求f(x)的单调区间；例3、设函

7、数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。变式训练：1、[2014·山东卷]设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，

8、则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)例3、[2014·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]变式训练：（山东省烟台市2011届高

9、三上学期期末考试试题（数学文））已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数.(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变