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1、天星湖中学高三数学（文）周末练习2011-10-15(答案)制卷：任淑香审核：李瑞柱一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上1．方程的解.答：22．若集合，则．答：3．函数的单调增区间是．4．已知是虚数单位，复数，则等于．5．已知变量满足约束条件,则的取值范围是．答：6．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于．答：40227．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是.答：8．函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则．答：.9．若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于。答：10,在中,分别是角的对
2、边,且,则角的大小为答：11．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为．答案：12．外接圆的半径为，圆心为，且，，则▲．答案：313．设函数，若，则实数的取值范围是．；14．在平面直角坐标系中，点集，，则点集所表示的区域的面积为．；由可得，又所以点（表示以集合B表示的正方形内的点为圆心，半径为1的圆面。如右图所示，点集是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域，其面积为．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）设求的
3、面积．（1）；（2）．16.已知向量,,.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若,,且,求.3解：（Ⅰ）,,.,,即,.（Ⅱ）,,，.17．已知二次函数f（x）满足且f（0）=1.（Ⅰ）求f（x）的解析式;（Ⅱ）在区间上,y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.解：(1)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x2-x+1.(2)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]
4、上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.设g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x)在[-1,1]上递减.故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.18．已知数列是首项为，公比的等比数列，，设，数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题意知，，又，故（Ⅱ）由（1）知，于是两式相减，得19、（本小题满分15分）因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投,且个单位的药剂,
5、它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).19、解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分则当时,由,解得,所以此时…………………3分当时,由,解得,所以此时………………………
6、5分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天……………6分3（Ⅱ）当时,………………………9分==,因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为………12分令,解得,所以的最小值为…15分20．已知，，且f(x)在处取得极值。（Ⅰ）试求c的值和f(x)的单调增区间；（Ⅱ）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，则有拉格朗日中值定理：即一定存在使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于解：（Ⅰ），依题意，有，即．，．令得，从而f(x)的单调增区间为：；（Ⅱ）；，由（Ⅱ）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一
7、点,使得，又，故有，证毕．3
